Вопрос школьника
Хорды АВ и CD окружности не пересекаются, а прямые АВ и CD пересекаются в точке М (рис. 98). Докажите, что ∠AMC =1/2 (∪АС-∪SD).
Ответ от учителя
Для начала заметим, что угол ∠AMC является центральным углом, соответствующим дуге AC окружности. Также заметим, что угол ∠ASD является внутренним углом, образованным пересекающимися прямыми AB и CD.
Теперь рассмотрим дугу AC и ее дополнительную дугу BD. Очевидно, что ∠ASD является центральным углом, соответствующим дуге BD. Также заметим, что угол ∠ASD является внешним углом треугольника AMC.
Из этих наблюдений следует, что ∠AMC = 180° — ∠ASD (из свойств внешнего угла треугольника). Также известно, что ∠ASD = 2∠ACD (из свойств центрального угла, соответствующего дуге BD).
Подставляя ∠ASD в первое уравнение, получаем ∠AMC = 180° — 2∠ACD. Но ∠ACD является половиной дуги AC, то есть ∠ACD = 1/2 ∪АС. Подставляя это в последнее уравнение, получаем ∠AMC = 180° — ∪АС.
Таким образом, мы доказали, что ∠AMC = 180° — ∪АС = 1/2 (∪АС-∪SD), что и требовалось доказать.
