Вопрос школьника
Хорды АВ и CD окружности с центром О равны. а) Докажите, что две дуги с концами А и В соответственно равны двум дугам с концами С и D. б) Найдите дуги с концами С и D, если угол AOB= 112°.
Ответ от учителя
а) Пусть AB и CD — хорды окружности с центром O, AB = CD. Рассмотрим две дуги: ACB и ADB. Они имеют общую хорду AB и равны по длине, так как соответствующие им центральные углы равны (угол AOB делит окружность на две равные части, поэтому углы AOC и BOD равны между собой). Таким образом, две дуги с концами А и В соответственно равны двум дугам с концами С и D.
б) Угол AOB = 112° соответствует дуге ACB. Так как дуги ACB и ADB равны, то угол ADB = 112°. Таким образом, дуги с концами С и D соответственно равны углам AOC и BOD, которые также равны 112°. Дуги ACB и ADB составляют полную окружность, поэтому дуги с концами С и D также составляют полную окружность, то есть их длина равна 360°. Для нахождения длины каждой из дуг можно воспользоваться формулой дуги: L = rα, где L — длина дуги, r — радиус окружности, α — центральный угол в радианах. Так как угол AOC (и BOD) равен 112°, то он равен 112/180π радиан. Радиус окружности неизвестен, поэтому длины дуг можно выразить через их углы: L = rα = r(112/180π) = (56/90π)r. Таким образом, длины дуг с концами С и D равны (56/90π)r и (34/90π)r соответственно.
