Вопрос школьника
Хорды АВ и DC окружности пересекаются в точке О (рис. 35, а). Докажите, что угол 1 = угол 2 = 1/2 (∪АС + ∪BD).
Ответ от учителя
Для начала, обозначим углы на рисунке 35, а следующим образом: угол 1 — ∪AOD, угол 2 — ∪BOC, угол ∪AC — ∪AOC, угол ∪BD — ∪BOD.
Также, обозначим точки пересечения хорд: точка пересечения хорд АВ и DC — точка О, точка пересечения хорд АС и BD — точка М.
Теперь рассмотрим треугольники АОМ и ВОМ. Они имеют общую сторону ОМ и равны по двум сторонам (ОА = ОВ, ОМ общая), следовательно, они равны. Значит, углы при основаниях АМ и ВМ равны: ∪AOM = ∪BOM.
Также, рассмотрим треугольники АОС и ВОD. Они имеют общую сторону ОС и равны по двум сторонам (ОА = ОВ, ОС общая), следовательно, они равны. Значит, углы при основаниях АС и ВD равны: ∪AOS = ∪BOD.
Теперь рассмотрим угол ∪AOC. Он равен сумме углов ∪AOM и ∪BOM (по теореме о сумме углов треугольника): ∪AOC = ∪AOM + ∪BOM.
Аналогично, рассмотрим угол ∪BOD. Он равен сумме углов ∪BOM и ∪AOM: ∪BOD = ∪BOM + ∪AOM.
Сложим эти два уравнения: ∪AOC + ∪BOD = 2(∪AOM + ∪BOM).
Заметим, что ∪AOC + ∪BOD = ∪AC + ∪BD (по теореме о центральном угле), а ∪AOM + ∪BOM = ∪1 + ∪2.
Таким образом, получаем: ∪1 + ∪2 = 1/2 (∪AC + ∪BD).
Таким образом, мы доказали, что угол 1 равен углу 2, и что они равны половине суммы углов ∪AC и ∪BD.
