Вопрос школьника
Идеальный газ массой м и молярной массой n, находящийся при температуре Т, охлаждается изохорно так, что давление падает в n раз. Затем газ расширяется при постоянном давлении. В конечном состоянии его температура равна первоначальной температуре. Определить совершённую газом работу.
Ответ от учителя
Изохорный процесс означает, что объем газа остается постоянным. По уравнению состояния идеального газа $pV=nRT$ можно выразить давление газа до охлаждения:
$$p_1=frac{nRT}{V}$$
После охлаждения давление газа уменьшается в $n$ раз, то есть:
$$p_2=frac{1}{n}p_1=frac{RT}{nV}$$
Так как температура газа остается постоянной, то по уравнению Менделеева-Клапейрона $pV=nRT$ можно выразить объем газа после охлаждения:
$$V_2=frac{nRT}{p_2}=nV$$
Далее газ расширяется при постоянном давлении $p_2$ до объема $V_1$. Работа, совершенная газом при расширении, равна:
$$A=p_2(V_1-V_2)=p_2nV(V_1-nV)$$
Так как температура газа в конечном состоянии равна начальной температуре, то по уравнению Менделеева-Клапейрона $p_1V_1=nRT$. Из этого уравнения можно выразить $V_1$:
$$V_1=frac{nRT}{p_1}=frac{nRT}{frac{nRT}{V}}=V$$
Тогда работу можно выразить через начальный объем газа:
$$A=p_2nV(V-n)=frac{RT}{nV}nV(V-n)=RTleft(1-frac{1}{n}right)$$
Ответ: $A=RTleft(1-frac{1}{n}right)$.
