Вопрос школьника
Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура Т1 нагревателя в три раза выше температуры охладителя Т2. В течение цикла нагреватель передаёт газу количество теплоты Q1 = 42 кДж. Какую работу А совершил газ?
Ответ от учителя
Цикл Карно представляет собой идеальный термодинамический цикл, который состоит из двух изотермических и двух адиабатических процессов. В данном случае, газ совершает цикл Карно между нагревателем и охладителем, где нагреватель имеет температуру Т1, а охладитель — Т2.
Из условия задачи, Т1 = 3Т2. По определению цикла Карно, газ получает количество теплоты Q1 от нагревателя и отдаёт количество теплоты Q2 охладителю. Таким образом, эффективность цикла Карно можно выразить следующим образом:
η = 1 — T2/T1
где η — эффективность цикла Карно.
Так как газ совершает цикл Карно, то работа А, которую совершает газ, можно выразить следующим образом:
А = Q1 — Q2
Так как газ является идеальным, то можно использовать уравнение состояния идеального газа:
PV = nRT
где P — давление газа, V — его объём, n — количество вещества, R — универсальная газовая постоянная, T — температура газа.
Также, можно использовать уравнение Клапейрона:
P1V1/T1 = P2V2/T2
где P1 и V1 — давление и объём газа в начале цикла, P2 и V2 — давление и объём газа в конце цикла.
Из уравнения Клапейрона можно выразить отношение объёмов газа в начале и конце цикла:
V2/V1 = T2/T1
Таким образом, можно выразить количество теплоты Q2, которое газ отдаёт охладителю:
Q2 = nR(T1 — T2)ln(V2/V1)
Также, можно выразить количество теплоты Q1, которое газ получает от нагревателя:
Q1 = nR(T1 — T2)ln(V3/V2)
где V3 — объём газа в конце изотермического процесса на нагревателе.
Таким образом, работу А, которую совершает газ, можно выразить следующим образом:
А = nR(T1 — T2)ln(V3/V2) — nR(T1 — T2)ln(V2/V1)
А = nR(T1 — T2)ln(V3/V1)
Так как газ является идеальным, то можно использовать уравнение состояния идеального газа для выражения объёма газа:
V = nRT/P
Таким образом, можно выразить отношение объёмов газа в начале и конце цикла:
V3/V1 = T1/T2
Таким образом, работу А, которую совершает газ, можно выразить следующим образом:
А = nR(T1 — T2)ln(T1/T2)
Так как дано количество теплоты Q1, которое газ получает от нагревателя, то можно выразить количество вещества n:
Q1 = nCp(T1 — T2)
где Cp — удельная теплоёмкость газа при постоянном давлении.
Таким образом, можно выразить количество вещества n:
n = Q1/Cp(T1 — T2)
Таким образом, работу А, которую совершает газ, можно выразить следующим образом:
А = Q1 — Q2
А = nCp(T1 — T2) — nR(T1 — T2)ln(T1/T2)
А = (Q1/Cp(T1 — T2))(Cp(T1 — T2) — R(T1 — T2)ln(T1/T2))
А = Q1(1 — R/Cp ln(T1/T2))
Таким образом, работа А, которую совершил газ, равна:
А = 42 кДж(1 — 8,31 Дж/(моль·К)/20,8 Дж/(моль·К) ln(3))
А = 16,8 кДж
Ответ: работа А, которую совершил газ, равна 16,8 кДж.
