Вопрос школьника
Имеется 10 одинаковых по виду урн, в 9-и из которых находятся по 2 черных и 2 белых шара, а в одной — 5 белых и 1 черный. Из наудачу выбранной урны извлечен шар. Извлеченный шар оказался белым. Чему равна вероятность того, что этот шар извлечен из урны, содержащей 5 белых шаров?
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся формулой условной вероятности:
$$P(A|B) = frac{P(A cap B)}{P(B)},$$
где $P(A|B)$ — вероятность события $A$ при условии, что произошло событие $B$, $P(A cap B)$ — вероятность одновременного наступления событий $A$ и $B$, $P(B)$ — вероятность наступления события $B$.
Обозначим событие «извлечен белый шар» как $B$, а событие «шар извлечен из урны, содержащей 5 белых шаров» как $A$. Тогда нужно найти вероятность $P(A|B)$.
Сначала найдем вероятность наступления события $B$. Для этого воспользуемся формулой полной вероятности:
$$P(B) = sum_{i=1}^{10} P(B|U_i)P(U_i),$$
где $P(B|U_i)$ — вероятность извлечения белого шара из урны $U_i$, $P(U_i)$ — вероятность выбора урны $U_i$.
В 9-и урнах находятся по 2 черных и 2 белых шара, поэтому вероятность извлечения белого шара из них равна:
$$P(B|U_i) = frac{2}{4} = frac{1}{2}$$
для $i = 1, 2, ldots, 9$. В 10-ой урне находится 5 белых и 1 черный шар, поэтому вероятность извлечения белого шара из нее равна:
$$P(B|U_{10}) = frac{5}{6}.$$
Все урны одинаковы, поэтому вероятность выбора каждой из них равна $P(U_i) = frac{1}{10}$.
Таким образом, вероятность наступления события $B$ равна:
$$P(B) = frac{9}{10} cdot frac{1}{2} + frac{1}{10} cdot frac{5}{6} = frac{17}{30}.$$
Теперь найдем вероятность одновременного наступления событий $A$ и $B$. Из урны, содержащей 5 белых шаров, можно извлечь белый шар только одним способом. Из остальных урн можно извлечь белый шар двумя способами (так как в них по 2 белых шара). Таким образом, вероятность одновременного наступления событий $A$ и $B$ равна:
$$P(A cap B) = frac{1}{10} cdot frac{5}{6} + frac{9}{10} cdot frac{1}{2} = frac{23}{60}.$$
Наконец, подставляем найденные значения в формулу условной вероятности:
$$P(A|B) = frac{P(A cap B)}{P(B)} = frac{frac{23}{60}}{frac{17}{30}} = frac{23}{34} approx 0.68.$$
Таким образом, вероятность того, что извлеченный белый шар был из урны, содержащей 5 белых шаров, составляет около 0.68.
