Вопрос школьника
Имеется треугольник ABC со сторонами AB, BC и АС соответственно равными c, a и b. На продолжении стороны AC за точку C на расстоянии m от нее выбрана точка M, а на прямой AB — точка N так, что AMN = ABC. Найдите длины отрезков AN и MN.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов для треугольника ABC:
$c^2 = a^2 + b^2 — 2abcosangle ACB$
Так как $angle AMN = angle ABC$, то треугольники AMN и ABC подобны, а значит, соответствующие стороны пропорциональны:
$frac{AN}{AB} = frac{MN}{BC}$
Также заметим, что треугольник AMC подобен треугольнику ABC, так как углы $angle AMC$ и $angle ACB$ являются соответственными. Из этого следует, что:
$frac{AM}{AC} = frac{BC}{c}$
Теперь можно выразить длины отрезков AN и MN через известные величины:
$AN = AB cdot frac{AM}{AC} = frac{ab}{c} cdot frac{c-m}{c}$
$MN = BC cdot frac{AM}{AC} = frac{ac}{b} cdot frac{m}{c}$
Таким образом, длины отрезков AN и MN зависят от длин сторон треугольника ABC и расстояния m от точки C до точки M.
