Вопрос школьника
Искусственный спутник движется вокруг Земли по эллипсу с эксцентриситетом E=0,5. Во сколько раз линейная скорость спутника в перигее (ближайшая к центру Земли точка орбиты спутника) больше, чем в апогее (наиболее удаленная точка орбиты)? Указание. Применить закон сохранения момента импульса
Ответ от учителя
Закон сохранения момента импульса гласит, что момент импульса системы остается постоянным, если на нее не действуют внешние моменты. В данном случае системой является искусственный спутник и Земля.
Момент импульса спутника можно выразить как произведение его массы на скорость и радиус вектор, по которому он движется: L = mvr. Так как момент импульса остается постоянным, то L1 = L2, где индексы 1 и 2 соответствуют перигее и апогее соответственно.
Также из закона всемирного тяготения известно, что скорость спутника на орбите зависит от расстояния до центра Земли: v = sqrt(GM/r), где G — гравитационная постоянная, M — масса Земли, r — расстояние от центра Земли до спутника.
Таким образом, можно записать уравнение для момента импульса в перигее и апогее:
L1 = m1v1r1 = m2v2r2 = L2
где m1 и m2 — массы спутника в перигее и апогее соответственно, v1 и v2 — линейные скорости спутника в перигее и апогее соответственно, r1 и r2 — радиусы векторы спутника в перигее и апогее соответственно.
Так как масса спутника не меняется, то можно сократить ее из уравнения:
v1r1 = v2r2
Также известно, что в эллиптической орбите расстояние от центра Земли до спутника в перигее меньше, чем в апогее. Поэтому можно записать:
r1 < r2 Таким образом, можно сделать вывод, что линейная скорость спутника в перигее больше, чем в апогее: v1 > v2
Для определения во сколько раз линейная скорость спутника в перигее больше, чем в апогее, можно поделить уравнение v1r1 = v2r2 на v2r2:
v1/v2 = r2/r1
Так как r1 < r2, то r2/r1 > 1. Поэтому линейная скорость спутника в перигее больше, чем в апогее, более чем в два раза:
v1/v2 > 2
Ответ: линейная скорость спутника в перигее больше, чем в апогее, более чем в два раза.
