Вопрос школьника
Искусственный спутник обращается вокруг планеты по круговой орбите радиусом r = 4000 км с постоянной по модулю скоростью v = 3,4 км/с. Ускорение свободного падения на планете g = 4 м/с2. Чему равен радиус планеты?
Ответ от учителя
Для решения данной задачи необходимо использовать законы Ньютона и закон всемирного тяготения.
Закон всемирного тяготения гласит, что любые два материальных тела притягиваются друг к другу с силой, пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними:
F = G * (m1 * m2) / r^2,
где F — сила притяжения, G — гравитационная постоянная, m1 и m2 — массы тел, r — расстояние между ними.
Закон Ньютона гласит, что сила, действующая на тело, равна произведению массы этого тела на его ускорение:
F = m * a,
где F — сила, m — масса тела, a — ускорение.
Исходя из этих законов, можно записать уравнение движения спутника:
F = m * a = m * (v^2 / r),
где v — скорость спутника, r — радиус орбиты.
Также можно записать уравнение для ускорения свободного падения на планете:
g = G * M / r^2,
где M — масса планеты.
Из этих уравнений можно выразить радиус планеты:
M = g * r^2 / G,
r = (G * M / g)^0.5.
Подставляя известные значения, получаем:
r = (6.67 * 10^-11 * M / 4)^0.5 = 4000 км,
откуда M = 5.97 * 10^24 кг — масса Земли.
Таким образом, радиус планеты, вокруг которой обращается искусственный спутник, равен 6371 км.
