Вопрос школьника
Используя данные и результат решения задачи 32, покажите, что при столкновении шаров выполняется закон сохранения полной механической энергии
Ответ от учителя
Задача 32 гласит: два шара массами $m_1$ и $m_2$ движутся навстречу друг другу с начальными скоростями $v_{01}$ и $v_{02}$ соответственно. При столкновении они сливаются в один шар. Найти скорость $v$ получившегося шара.
Решение этой задачи показывает, что при столкновении шаров выполняется закон сохранения импульса и закон сохранения энергии. Закон сохранения импульса гласит, что сумма импульсов системы до столкновения равна сумме импульсов после столкновения:
$$m_1v_{01} + m_2v_{02} = (m_1 + m_2)v$$
Отсюда можно выразить скорость $v$ получившегося шара:
$$v = frac{m_1v_{01} + m_2v_{02}}{m_1 + m_2}$$
Закон сохранения энергии гласит, что полная механическая энергия системы до столкновения равна полной механической энергии после столкновения:
$$frac{1}{2}m_1v_{01}^2 + frac{1}{2}m_2v_{02}^2 = frac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2$$
Подставляя выражение для скорости $v$, получаем:
$$frac{1}{2}m_1v_{01}^2 + frac{1}{2}m_2v_{02}^2 = frac{1}{2}frac{(m_1v_{01} + m_2v_{02})^2}{m_1 + m_2}$$
Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получаем:
$$frac{1}{2}m_1v_{01}^2 + frac{1}{2}m_2v_{02}^2 = frac{1}{2}frac{m_1^2v_{01}^2 + 2m_1m_2v_{01}v_{02} + m_2^2v_{02}^2}{(m_1 + m_2)^2}(m_1 + m_2)$$
Упрощая выражение, получаем:
$$frac{1}{2}m_1v_{01}^2 + frac{1}{2}m_2v_{02}^2 = frac{1}{2}frac{m_1^2v_{01}^2 + 2m_1m_2v_{01}v_{02} + m_2^2v_{02}^2}{m_1 + m_2}$$
Умножая обе части уравнения на $m_1 + m_2$, получаем:
$$frac{1}{2}m_1(m_1 + m_2)v_{01}^2 + frac{1}{2}m_2(m_1 + m_2)v_{02}^2 = frac{1}{2}(m_1^2v_{01}^2 + 2m_1m_2v_{01}v_{02} + m_2^2v_{02}^2)$$
Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получаем:
$$frac{1}{2}m_1m_2(v_{01} — v_{02})^2 = 0$$
Отсюда следует, что $v_{01} = v_{02}$, то есть скорости шаров до столкновения равны. Это означает, что при столкновении шаров они не просто сливаются в один шар, но и останавливаются. Таким образом, после столкновения скорость получившегося шара равна нулю, а его полная механическая энергия также равна нулю.
Таким образом, при столкновении шаров выполняется закон сохранения полной механической энергии, так как полная механическая энергия системы до столкновения равна нулю, а после столкновения также равна нулю.
