Вопрос школьника
Используя скалярное умножение векторов, докажите:
а) теорему о трёх перпендикулярах;
б) признак перпендикулярности прямой и плоскости;
в) теорему о том, что два перпендикуляра к одной плоскости параллельны.
Ответ от учителя
а) Теорема о трёх перпендикулярах утверждает, что если в трёхмерном пространстве даны три вектора $vec{a}$, $vec{b}$ и $vec{c}$, причём $vec{a}$ перпендикулярен $vec{b}$, $vec{b}$ перпендикулярен $vec{c}$, то $vec{a}$ также перпендикулярен $vec{c}$. Докажем это с помощью скалярного умножения векторов.
Из условия задачи следует, что $vec{a} cdot vec{b} = 0$ и $vec{b} cdot vec{c} = 0$. Рассмотрим скалярное произведение $vec{a} cdot vec{c}$:
$$vec{a} cdot vec{c} = (vec{a} cdot vec{b}) + (vec{b} cdot vec{c}) + (vec{a} cdot (vec{c} — vec{b}))$$
Первые два слагаемых равны нулю, поэтому остаётся только третье:
$$vec{a} cdot vec{c} = vec{a} cdot (vec{c} — vec{b})$$
Заметим, что вектор $vec{c} — vec{b}$ лежит в плоскости, перпендикулярной вектору $vec{b}$, поэтому он перпендикулярен вектору $vec{a}$. Таким образом, $vec{a} cdot vec{c} = 0$, что и означает, что векторы $vec{a}$ и $vec{c}$ перпендикулярны.
б) Признак перпендикулярности прямой и плоскости утверждает, что прямая перпендикулярна к плоскости тогда и только тогда, когда она перпендикулярна к любому вектору, лежащему в этой плоскости. Докажем это с помощью скалярного умножения векторов.
Пусть дана плоскость, заданная уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, и прямая, заданная точкой $P_0(x_0, y_0, z_0)$ и направляющим вектором $vec{v} = (a, b, c)$. Пусть также дан произвольный вектор $vec{n} = (A, B, C)$, лежащий в плоскости. Тогда условие перпендикулярности прямой и плоскости можно записать в виде:
$$vec{v} cdot vec{n} = 0$$
Раскрывая скалярное произведение, получаем:
$$aA + bB + cC = 0$$
Это условие выполняется для любого вектора $vec{n}$, лежащего в плоскости, поэтому прямая перпендикулярна к плоскости.
Обратно, пусть прямая перпендикулярна к любому вектору, лежащему в плоскости. Рассмотрим произвольную точку $P(x, y, z)$, лежащую на плоскости. Тогда вектор $vec{n} = (A, B, C)$, где $A$, $B$ и $C$ — коэффициенты уравнения плоскости, является нормалью к плоскости в этой точке. Таким образом, прямая, проходящая через точку $P$ и перпендикулярная вектору $vec{n}$, будет перпендикулярна к плоскости.
в) Теорема о том, что два перпендикуляра к одной плоскости параллельны, утверждает, что если в трёхмерном пространстве даны два перпендикуляра $vec{a}$ и $vec{b}$ к одной плоскости, то они параллельны. Докажем это с помощью скалярного умножения векторов.
Пусть даны два перпендикуляра $vec{a}$ и $vec{b}$ к плоскости. Рассмотрим скалярное произведение $vec{a} cdot vec{b}$:
$$vec{a} cdot vec{b} = ||vec{a}|| cdot ||vec{b}|| cdot cos{alpha}$$
где $alpha$ — угол между векторами. Так как $vec{a}$ и $vec{b}$ перпендикулярны к одной плоскости, то они лежат в этой плоскости и, следовательно, угол между ними равен $90^circ$. Таким образом, $cos{alpha} = 0$ и $vec{a} cdot vec{b} = 0$. Это означает, что векторы $vec{a}$ и $vec{b}$ ортогональны друг другу и, следовательно, параллельны.
