Вопрос школьника
Используя теорему Фалеса, докажите, что средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.
Ответ от учителя
Теорема Фалеса утверждает, что если на двух сторонах треугольника AB и AC провести точки D и E соответственно, такие что DE || BC, то отрезок AD делит сторону BC пропорционально отрезкам BD и DC.
Для доказательства того, что средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине, рассмотрим треугольник ABC и его среднюю линию DE, которая соединяет середины сторон AB и AC.
По определению средней линии, отрезок DE делит сторону BC пополам. То есть, BD = DC.
Также, по теореме Фалеса, DE || BC. Значит, угол BDE равен углу ABC, а угол CDE равен углу ACB.
Таким образом, треугольники BDE и ABC подобны по двум углам, и соответствующие стороны пропорциональны. Значит, BD/AB = DE/AC = DC/BC = 1/2.
Отсюда следует, что средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.
