Вопрос школьника
Используя теорему синусов, решите треугольник ABC, если: а) АВ = 8 см, угол A = 30°, угол B = 45°; б) АВ = 5 см, угол B = 45°, угол C = 60°; в) АВ = 3см, ВС = 3,3 см, угол A = 48°30′; г) АС = 10,4 см, ВС = 5,2 см, угол B = 62°48′
Ответ от учителя
Теорема синусов гласит, что в треугольнике со сторонами a, b, c и противолежащими им углами A, B, C соответственно, верно следующее соотношение:
a/sin A = b/sin B = c/sin C
а) В треугольнике ABC известны сторона AB и углы A и B. Найдем третий угол C:
C = 180° — A — B = 180° — 30° — 45° = 105°
Теперь можем применить теорему синусов:
AB/sin A = BC/sin B = AC/sin C
8/sin 30° = BC/sin 45° = AC/sin 105°
BC = 8*sin 45°/sin 30° ≈ 9.8 см
AC = 8*sin 105°/sin 30° ≈ 16.5 см
б) В треугольнике ABC известны сторона AB и углы B и C. Найдем третий угол A:
A = 180° — B — C = 180° — 45° — 60° = 75°
Применяем теорему синусов:
AB/sin A = BC/sin B = AC/sin C
5/sin 75° = BC/sin 45° = AC/sin 60°
BC = 5*sin 45°/sin 75° ≈ 3.9 см
AC = 5*sin 60°/sin 75° ≈ 4.8 см
в) В треугольнике ABC известны стороны AB и BC и угол A. Найдем угол B:
B = arcsin(BС*sin A/AB) = arcsin(3.3*sin 48°30’/3) ≈ 34°
Третий угол C:
C = 180° — A — B = 180° — 48°30′ — 34° ≈ 97°30′
Применяем теорему синусов:
AB/sin A = BC/sin B = AC/sin C
3/sin 48°30′ = 3.3/sin 34° = AC/sin 97°30′
AC = 3*sin 97°30’/sin 48°30′ ≈ 4.5 см
г) В треугольнике ABC известны стороны AC и BC и угол B. Найдем угол A:
A = arcsin(AC*sin B/BC) = arcsin(10.4*sin 62°48’/5.2) ≈ 84°
Третий угол C:
C = 180° — A — B = 180° — 84° — 62°48′ ≈ 33°12′
Применяем теорему синусов:
AB/sin A = BC/sin B = AC/sin C
AB/sin 84° = 5.2/sin 62°48′ = 10.4/sin 33°12′
AB ≈ 8.5 см
Ответ:
а) BC ≈ 9.8 см, AC ≈ 16.5 см
б) BC ≈ 3.9 см, AC ≈ 4.8 см
в) AC ≈ 4.5 см
г) AB ≈ 8.5 см
