Вопрос школьника
Из букв разрезной азбуки составлено слово «повторение». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем часть их собрал в произвольном порядке. Найти вероятность того, что
1) буква “о» появится раньше «р»;
2) у него получится слово «перо».
Ответ от учителя
1) Для решения этой задачи нужно определить, сколько всего возможных вариантов расстановки букв в слове «повторение». Для этого используем формулу перестановок без повторений: P(n) = n!, где n — количество элементов (букв) в множестве (слове). В данном случае n = 10 (10 букв в слове «повторение»), поэтому P(10) = 10! = 3 628 800.
Теперь нужно определить, сколько из этих вариантов удовлетворяют условию «буква ‘о’ появится раньше ‘р'». Для этого можно использовать метод отношения. Рассмотрим два случая:
— ‘о’ стоит на первом месте. В этом случае на второе место может поставиться любая из оставшихся 9 букв, а на третье — любая из оставшихся 8 букв и т.д. Таким образом, количество вариантов расстановки букв при условии, что ‘о’ стоит на первом месте, равно P(9) = 9! = 362 880.
— ‘о’ стоит на втором, третьем, четвертом, пятом, шестом, седьмом, восьмом, девятом или десятом месте. В этом случае на первое место может поставиться любая из оставшихся 9 букв, а на второе — любая из оставшихся 8 букв и т.д. Таким образом, количество вариантов расстановки букв при условии, что ‘о’ стоит на любом месте, кроме первого, равно 9 * P(9) = 3 266 880.
Таким образом, общее количество вариантов расстановки букв, удовлетворяющих условию «буква ‘о’ появится раньше ‘р'», равно 362 880 + 3 266 880 = 3 629 760.
Вероятность того, что буква «о» появится раньше «р», равна отношению количества вариантов, удовлетворяющих условию, к общему количеству вариантов: P = 3 629 760 / 3 628 800 = 1.0000276. То есть вероятность очень близка к 1, что говорит о том, что буква «о» появится раньше «р» в практически всех случаях.
2) Для решения этой задачи нужно определить, сколько всего возможных вариантов расстановки букв в слове «повторение». Это мы уже сделали в предыдущем пункте — общее количество вариантов равно 3 628 800.
Теперь нужно определить, сколько из этих вариантов содержат буквы «п», «е» и «р» в нужном порядке. Это можно сделать методом умножения. Рассмотрим три случая:
— «п» стоит на первом месте. В этом случае на второе место должна стоять буква «е», а на третье — буква «р». На оставшиеся места могут ставиться любые из оставшихся 7 букв. Таким образом, количество вариантов расстановки букв при условии, что «п», «е» и «р» стоят на первых трех местах, равно 1 * 1 * 1 * P(7) = 5 040.
— «п» стоит на втором месте. В этом случае на первое место должна стоять любая из оставшихся 9 букв, на третье — буква «е», а на четвертом — буква «р». На оставшиеся места могут ставиться любые из оставшихся 6 букв. Таким образом, количество вариантов расстановки букв при условии, что «п», «е» и «р» стоят на втором, третьем и четвертом местах, равно 9 * 1 * 1 * P(6) = 136 080.
— «п» стоит на третьем месте. В этом случае на первое место должна стоять любая из оставшихся 9 букв, на второе — любая из оставшихся 8 букв, а на четвертом — буква «е». На оставшиеся места могут ставиться любые из оставшихся 6 букв. Таким образом, количество вариантов расстановки букв при условии, что «п», «е» и «р» стоят на третьем, четвертом и пятом местах, равно 9 * 8 * 1 * P(6) = 979 776.
Таким образом, общее количество вариантов расстановки букв, при которых получится слово «перо», равно 5 040 + 136 080 + 979 776 = 1 120 896.
Вероятность того, что у ребенка получится слово «перо», равна отношению количества вариантов, удовлетворяющих условию, к общему количеству вариантов: P = 1 120 896 / 3 628 800 = 0.308. То есть вероятность довольно низкая, что говорит о том, что у ребенка мало шансов собрать слово «перо» из букв слова «повторение».
