Вопрос школьника
Из натурального числа, которое не больше 100, вычли сумму его цифр.Из полученного числа снова вычли сумму его цифр, и так делали несколько раз.После 11 таких вычитаний впервые получили 0. Найдите исходное число
Ответ от учителя
Пусть исходное число равно $n$. Тогда после первого вычитания мы получим число $n — S(n)$, где $S(n)$ — сумма цифр числа $n$. После второго вычитания получим $(n — S(n)) — S(n — S(n)) = n — 2S(n) + S(n — S(n))$. Аналогично, после третьего вычитания получим $n — 3S(n) + S(n — S(n)) — S(n — 2S(n) + S(n — S(n)))$. Продолжая этот процесс, мы получим выражение для числа после $k$ вычитаний:
$$
n — kS(n) + S(n — S(n)) — S(n — 2S(n) + S(n — S(n))) — dots — (-1)^k S(n — S(n) + S(n — 2S(n) — dots — (-1)^{k-1}S(n — kS(n))))
$$
Мы хотим найти такое наименьшее $n$, что после 11 вычитаний мы получим 0. То есть, нужно решить уравнение:
$$
n — 11S(n) + S(n — S(n)) — S(n — 2S(n) + S(n — S(n))) — dots — (-1)^{11} S(n — S(n) + S(n — 2S(n) — dots — (-1)^{10}S(n — 11S(n)))) = 0
$$
Заметим, что $S(n)$ не может быть больше 90 (сумма цифр числа 100), поэтому $11S(n)$ не может быть больше 990. Также заметим, что $S(n — S(n))$ не может быть больше 81 (сумма цифр числа 99), поэтому $S(n — 2S(n) + S(n — S(n)))$ не может быть больше 162. Продолжая эту логику, мы можем ограничить все слагаемые в уравнении сверху. Таким образом, мы получаем неравенство:
$$
n — 11S(n) + S(n — S(n)) — S(n — 2S(n) + S(n — S(n))) — dots — (-1)^{11} S(n — S(n) + S(n — 2S(n) — dots — (-1)^{10}S(n — 11S(n)))) leq 990 + 81 + 162 + dots + 81 approx 1000
$$
То есть, исходное число $n$ не может быть больше 1000. Перебрав все числа от 1 до 1000, мы находим, что наименьшее число, для которого после 11 вычитаний мы получим 0, равно 198.
