Вопрос школьника
Из нижней точки гладкого горизонтального цилиндрического жёлоба радиуса R под небольшим углом к его образующей выскальзывает со скоростью v0 маленький шарик. Сколько раз на длине l он пересечёт нижнюю образующую жёлоба?
Ответ от учителя
Для решения этой задачи необходимо использовать закон сохранения энергии и закон сохранения импульса.
Изначально шарик обладает потенциальной энергией, равной mgh, где m — масса шарика, g — ускорение свободного падения, h — высота, на которой находится шарик. При выскальзывании шарик начинает двигаться со скоростью v0 и приобретает кинетическую энергию, равную (mv0^2)/2.
При движении по желобу шарик теряет потенциальную энергию, которая переходит в кинетическую. При этом скорость шарика увеличивается, а его высота уменьшается. На нижней точке желоба потенциальная энергия шарика равна нулю, а его кинетическая энергия максимальна и равна (mv^2)/2, где v — скорость шарика на нижней точке желоба.
Закон сохранения энергии позволяет найти скорость шарика на нижней точке желоба:
mgh = (mv^2)/2
v = sqrt(2gh)
Закон сохранения импульса позволяет найти изменение импульса шарика при столкновении с нижней образующей желоба:
Δp = 2mv
Таким образом, шарик пересечет нижнюю образующую желоба каждый раз, когда его изменение импульса будет достаточно большим, чтобы преодолеть силу трения между шариком и желобом. Это происходит каждый раз, когда шарик достигает максимальной скорости на нижней точке желоба.
Максимальная скорость шарика на нижней точке желоба равна sqrt(2gh), а изменение импульса при столкновении с нижней образующей желоба равно 2mv. Таким образом, шарик пересечет нижнюю образующую желоба каждый раз, когда:
2mv > μmgcosα
где μ — коэффициент трения между шариком и желобом, α — угол между образующей желоба и горизонтом.
Таким образом, количество пересечений шарика с нижней образующей желоба равно:
n = floor((l/R) * (2mv — μmgcosα)/(2mv))
где floor — функция округления до ближайшего целого числа.
Итак, мы получили формулу для количества пересечений шарика с нижней образующей желоба. Для ее применения необходимо знать значения всех параметров задачи: массу шарика, радиус желоба, скорость шарика на выходе из желоба, коэффициент трения между шариком и желобом, угол между образующей желоба и горизонтом, а также длину желоба.
