Вопрос школьника
Из одной точки сферы выходят равные хорды,
а) Докажите, что они образуют равные углы с диаметром, выходящим из той же точки,
б) Проверьте обратное утверждение,
в) Какую фигуру образуют другие концы всех таких хорд?
Ответ от учителя
а) Пусть точка, из которой выходят равные хорды, называется A, а диаметр, выходящий из этой же точки, называется BC. Пусть также D и E — концы двух равных хорд, выходящих из точки A. Тогда, так как AD = AE, то треугольник ADE равнобедренный, а значит, углы DAE и DEA равны. Но эти углы являются внутренними углами треугольника BCD, так как хорды DE и BC пересекаются в точке A. Значит, углы DAE и DEA равны углу BCD, то есть хорда DE образует равный угол с диаметром BC. Аналогично можно доказать, что любая другая равная хорда также образует равный угол с диаметром BC.
б) Обратное утверждение не верно. Рассмотрим сферу с диаметром AB и точкой C на этом диаметре. Пусть хорда DE образует равный угол с диаметром AB, но не равна другой хорде, выходящей из точки C. Тогда, так как угол ADE равен углу BDE, а угол AED равен углу BED, то треугольник ADE равен треугольнику BDE по двум сторонам и углу между ними. Значит, AD = BD, то есть хорда DE равна хорде, выходящей из точки C, что противоречит условию.
в) Другие концы всех равных хорд образуют окружность, центр которой находится в точке A — точке, из которой выходят эти хорды. Действительно, пусть F и G — концы двух равных хорд, выходящих из точки A. Тогда, так как AF = AG, то точка A находится на серединном перпендикуляре к отрезку FG. А так как все равные хорды образуют равные углы с диаметром, то угол FAG равен углу FCG, а значит, треугольники FAG и FCG подобны. Значит, FG параллельна диаметру BC, выходящему из точки A, и находится на постоянном расстоянии от него. Таким образом, все концы равных хорд лежат на окружности с центром в точке A.
