Вопрос школьника
Из произвольной точки М, принадлежащей углу с вершиной А, но не принадлежащей его А-сторонам, проведены перпендикуляры MP и MQ к сторонам угла. Из точки А проведён перпендикуляр АК к отрезку PQ. Докажите, что ∠PAK = ∠MAQ.
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольники AMP и AMQ. Они имеют общую сторону AM и равны по двум сторонам (так как MP = MQ, так как они перпендикуляры к сторонам угла). Значит, они равны и по углу при вершине M, то есть ∠PAM = ∠QAM.
Также заметим, что треугольники AMP и APK подобны, так как у них соответственные углы прямые, а угол PAM равен углу KAP (так как они смежные и дополнительные к ∠PAM). Значит, отсюда следует, что ∠PAK = ∠AMP.
Аналогично, треугольники AMQ и AKQ подобны, так как у них соответственные углы прямые, а угол QAM равен углу KAQ (так как они смежные и дополнительные к ∠QAM). Значит, отсюда следует, что ∠MAQ = ∠AKQ.
Таким образом, мы получили, что ∠PAM = ∠QAM, ∠PAK = ∠AMP и ∠MAQ = ∠AKQ. Сложив эти равенства, получим:
∠PAM + ∠PAK + ∠MAQ = ∠QAM + ∠AMP + ∠AKQ
Или, перегруппировав слагаемые:
∠PAK + ∠MAQ = ∠AMP + ∠QAM
Но ∠AMP = ∠PAK (как мы выяснили выше), поэтому:
∠PAK + ∠MAQ = ∠PAK + ∠QAM
Вычтем из обеих частей равенства ∠PAK и получим:
∠MAQ = ∠QAM
Что и требовалось доказать.
