Вопрос школьника
Из середины D основания AC равнобедренного треугольника ABC проведен перпендикуляр DH к стороне BC, точка M — середина отрезка DH. Докажите, что BM ⊥ AH.
Ответ от учителя
Для доказательства того, что BM ⊥ AH, нужно показать, что угол BMH равен 90 градусам.
Рассмотрим треугольник ABC. Так как он равнобедренный, то AD является медианой и высотой, а значит, точка H лежит на отрезке AD.
Также заметим, что треугольник BDH подобен треугольнику ABC, так как угол BDH равен углу BAC, а угол DBH равен углу ACB (как вертикальные углы). Значит, отношение сторон в этих треугольниках равно отношению сторон в треугольнике ABC.
Так как M — середина отрезка DH, то BM равен половине стороны BD. Также заметим, что AH является медианой в треугольнике ABD, а значит, делит сторону BD пополам.
Таким образом, BM и AH являются высотами в подобных треугольниках BDH и ABD соответственно, и их длины относятся как 1:2. Значит, угол BMH равен 90 градусам, что и требовалось доказать.
