Вопрос школьника
1) Из точки А к окружности с центром О и радиусом R проведена касательная. Докажите, что точка С касания лежит на основании равнобедренного треугольника ОАВ, у которого ОА = АВ, ОВ = 2R. 2) Проведите касательную к окружности, проходящую через данную точку вне окружности.
Ответ от учителя
1) Рассмотрим треугольник ОАС. Так как ОС — это радиус окружности, то он перпендикулярен касательной АС в точке С. Также, так как ОА — это радиус окружности, то он также перпендикулярен касательной АС в точке С. Значит, ОС и ОА являются высотами треугольника ОАС. Так как ОА = АВ, то треугольник ОАВ — равнобедренный, а значит, высота ОС также является медианой и биссектрисой угла ВОА. Так как ОВ = 2R, то ОС = R (так как ОС является радиусом окружности). Значит, треугольник ОАС является прямоугольным и равнобедренным, а точка С лежит на его основании АВ.
2) Рассмотрим точку М вне окружности и проведем через нее прямую, пересекающую окружность в точках А и В. Так как М лежит вне окружности, то ОМ > R. Рассмотрим треугольник ОМА. Так как ОА — это радиус окружности, то он перпендикулярен касательной АМ в точке А. Также, так как ОМ > R, то ОМ является высотой треугольника ОМА. Значит, угол ОАМ прямой. Аналогично, угол ОВМ также прямой. Значит, точка М лежит на диаметре, проходящем через точки А и В. Таким образом, касательная к окружности, проходящая через точку М, будет параллельна диаметру, проходящему через точки А и В.
