Вопрос школьника
Из точки А к прямой а проведены перпендикуляр АН и наклонные АМ1 и АМ2. Докажите, что а) если НМ = НМ2, то АМ = АМ2 б) если НМх < НМ2, то АМх < АМ2.
Ответ от учителя
Для начала, рассмотрим ситуацию на рисунке:
[вставить рисунок]
Точка А находится вне прямой а, поэтому мы можем провести перпендикуляр АН и наклонные АМ1 и АМ2.
а) Если НМ = НМ2, то АМ = АМ2
Для доказательства этого утверждения, рассмотрим треугольники АНМ и АНМ2. Они имеют общий катет АН и равные гипотенузы НМ и НМ2. Значит, эти треугольники равны по гипотенузе и катету, а значит, угол АМН равен углу АМ2Н.
Так как угол АМН является прямым, то и угол АМ2Н также является прямым. Значит, АМ и АМ2 являются высотами в треугольниках АНМ и АНМ2 соответственно.
Таким образом, мы доказали, что АМ = АМ2.
б) Если НМх < НМ2, то АМх < АМ2. Для доказательства этого утверждения, рассмотрим треугольники АНМх и АНМ2. Они имеют общий катет АН и гипотенузы НМх и НМ2 соответственно. Так как НМх < НМ2, то угол АНМх больше угла АНМ2 (так как гипотенуза НМх лежит ближе к АН, чем гипотенуза НМ2). Также мы знаем, что угол АМхН меньше угла АМ2Н (так как АМх лежит ближе к АН, чем АМ2). Из этих двух фактов следует, что угол АМхН меньше угла АМ2Н, а значит, АМх меньше АМ2. Таким образом, мы доказали, что если НМх < НМ2, то АМх < АМ2.
