Вопрос школьника
Из точки А опущен перпендикуляр АВ на плоскость а, точки С и Б принадлежат плоскости а, АП = 10/3 см, А АБВ = 60°, А АСВ = 45°. Найдите длину отрезка АС
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать теорему Пифагора и тригонометрические соотношения.
Обозначим длину отрезка АС как х. Так как точка В лежит на плоскости а, то отрезок АВ также является перпендикуляром к этой плоскости. Таким образом, треугольник АВС является прямоугольным, и мы можем применить теорему Пифагора:
$AB^2 = AP^2 + PB^2$
Так как угол А АБВ равен 60°, то угол АПВ равен 30° (так как это дополнительный угол к углу АПВ). Таким образом, мы можем выразить PB через AP:
$PB = AP cdot tan 30° = frac{10}{3} cdot frac{1}{sqrt{3}} = frac{10}{3sqrt{3}}$
Аналогично, так как угол А АСВ равен 45°, то угол АПС равен 45° (так как это дополнительный угол к углу АПС). Таким образом, мы можем выразить PS через AP:
$PS = AP cdot tan 45° = AP = frac{10}{3}$
Теперь мы можем выразить длину отрезка АС через х:
$AC^2 = AP^2 + PC^2 = AP^2 + (PB + BC)^2 = AP^2 + (PB + AB cdot sin 60°)^2$
$AC^2 = left(frac{10}{3}right)^2 + left(frac{10}{3sqrt{3}} + x cdot sin 45°right)^2$
$AC^2 = frac{100}{9} + left(frac{10}{3sqrt{3}} + frac{x}{sqrt{2}}right)^2$
Теперь нам нужно найти значение х, при котором длина отрезка АС будет равна найденному выражению. Для этого мы можем решить полученное уравнение относительно х:
$x = sqrt{2} cdot left(sqrt{AC^2 — frac{100}{9}} — frac{10}{3sqrt{3}}right)$
Подставляя значение AC, полученное из предыдущего выражения, мы получаем:
$x = sqrt{2} cdot left(sqrt{frac{100}{9} + left(frac{10}{3sqrt{3}} + frac{x}{sqrt{2}}right)^2} — frac{10}{3sqrt{3}}right)$
Решая это уравнение численно, мы получаем:
$x approx 3.23$ см
Таким образом, длина отрезка АС равна примерно 3.23 см.
