Вопрос школьника
Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 8
Ответ от учителя
Рассмотрим схему:
Пусть точки касания касательных с окружностью обозначены как B и C. Также обозначим точку пересечения отрезка АО с окружностью как D.
Так как AB и AC являются касательными к окружности, то они перпендикулярны радиусам, проведенным в точки B и C соответственно. Таким образом, угол BOC равен 120°.
Также из треугольника AOD можно выразить AD:
AD = AO * sin(30°) = 4
Из прямоугольного треугольника ABD можно выразить BD:
BD = AD * tan(60°) = 4 * √3
Аналогично, из треугольника AOC можно выразить AC:
AC = AO * sin(30°) = 4
Из прямоугольного треугольника ACD можно выразить CD:
CD = AC * tan(60°) = 4 * √3
Так как BD и CD являются радиусами окружности, то они равны между собой:
BD = CD
4 * √3 = 2r
r = 2 * √3
Таким образом, радиус окружности равен 2 * √3.
