Вопрос школьника
Из точки А сферы радиуса R выходят диаметр АВ и хорда АС длины d.
а) Чему равно | 8С|?
б) Чему равен ∠BAC?
в) Найдите расстояние от С до АВ.
Ответ от учителя
а) Пусть точка О — центр сферы. Тогда, так как АВ — диаметр, то она проходит через центр О, и значит, точка С лежит на окружности с центром О и радиусом R. Пусть точка М — середина хорды АС. Тогда, так как АС — хорда, то она не проходит через центр О, и значит, точка М лежит на окружности с центром О и радиусом R. Таким образом, треугольник АМС — прямоугольный, и мы можем найти длину МС по теореме Пифагора:
МС² = АМ² — АС²/4 = R² — d²/4
Теперь рассмотрим треугольник СО8С’, где С’ — точка пересечения прямой СО с сферой. Так как СО — радиус сферы, то треугольник СО8С’ — прямоугольный, и мы можем найти длину 8С по теореме Пифагора:
8С² = СО² + С’О² = R² + (R — МС)² = R² + (R — √(R² — d²/4))²
Ответ: |8С| = √(R² + (R — √(R² — d²/4))²)
б) Рассмотрим треугольник АОС. Так как АС — хорда, то угол АОС равен углу, опирающемуся на ту же дугу, что и хорда АС. Так как длина дуги АС равна d/R, то угол АОС равен d/R радиан. Теперь рассмотрим треугольник АВО. Так как АВ — диаметр, то угол АВО равен 90 градусов. Таким образом, угол BAC равен:
∠BAC = ∠BAO + ∠OAC = 90 градусов — d/R радиан
Ответ: ∠BAC = 90 градусов — d/R радиан
в) Рассмотрим треугольник АМС, где М — середина хорды АС. Так как АС — хорда, то МС — высота треугольника АМС, опущенная на сторону АС. Также мы уже нашли длину МС в пункте а):
МС² = R² — d²/4
Таким образом, МС = √(R² — d²/4). Теперь рассмотрим треугольник АСN, где N — точка пересечения высоты МС с стороной АВ. Так как АВ — диаметр, то АН = NB = R. Также мы знаем, что МН = МВ/2 = R/2. Таким образом, треугольник АНМ — прямоугольный, и мы можем найти длину АН по теореме Пифагора:
АН² = АМ² + МН² = R² — d²/4 + R²/4
АН = √(2R² — d²/2)
Теперь рассмотрим треугольник АСN. Так как МС — высота, то угол АСМ прямой. Также мы знаем, что угол АНС равен углу, опирающемуся на ту же дугу, что и хорда АС. Так как длина дуги АС равна d/R, то угол АНС равен d/2R радиан. Таким образом, угол САН равен:
∠САН = ∠САМ + ∠МАН = arctan(МС/АМ) + d/2R радиан
Ответ: расстояние от С до АВ равно АН = √(2R² — d²/2), угол САН равен ∠САМ + ∠МАН = arctan(МС/АМ) + d/2R радиан.
