Вопрос школьника
Из точки А, удаленной от плоскости γ на расстояние d, проведены к этой плоскости наклонные АВ и АС под углом 30° к плоскости. Их проекции на плоскость γ образуют угол в 120°. Найдите ВС
Ответ от учителя
Пусть точка В лежит на наклонной АВ, а точка С лежит на наклонной АС. Тогда треугольник АВС является прямоугольным, так как наклонные к плоскости γ являются перпендикулярами к её проекции на плоскость. Пусть угол между проекциями наклонных на плоскость γ равен α. Тогда угол между наклонными равен 180° — α.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. Пусть АМ — высота, опущенная на гипотенузу ВС. Тогда:
AM = AB*sin(30°) = (d/2)*sin(30°) = d/4
В свою очередь, угол между наклонными можно выразить через угол α:
cos(180° — α) = cos α = (AB*AC)/(BC*BC)
Так как угол между проекциями наклонных на плоскость γ равен 120°, то угол α равен 60°. Подставляя значения, получаем:
cos 60° = (d/4)*(d/4 + ВС)/(ВС*ВС)
1/2 = (d/4)*(d/4 + ВС)/(ВС*ВС)
ВС*ВС = 2*(d/4)*(d/4 + ВС)
ВС*ВС = (d*d)/8 + (d/2)*ВС
ВС*ВС — (d/2)*ВС — (d*d)/8 = 0
Решая квадратное уравнение, получаем:
ВС = (d/4)*(1 + √3)
Ответ: ВС = (d/4)*(1 + √3).
