Вопрос школьника
Из точки А вне шара проводятся прямые, имеющие с его сферой единственную общую точку (о таких прямых говорят, что они касаются сферы).
а) Докажите, что равны отрезки этих прямых от точки А до точки касания.
б) Какую линию на сфере образуют точки касания всех этих прямых?
Ответ от учителя
а) Пусть точка касания прямой сферой имеет координаты $(x,y,z)$, а точка $A$ имеет координаты $(x_0,y_0,z_0)$. Тогда вектор, соединяющий эти точки, равен $vec{r} = (x-x_0, y-y_0, z-z_0)$. Так как прямая касается сферы, то вектор $vec{r}$ перпендикулярен радиусу сферы, проведенному в точке касания. Пусть радиус сферы имеет длину $R$ и направлен вдоль оси $z$. Тогда условие перпендикулярности можно записать в виде уравнения:
$$(x-x_0, y-y_0, z-z_0) cdot (0,0,R) = 0,$$
откуда получаем $z = z_0 pm sqrt{R^2 — (x-x_0)^2 — (y-y_0)^2}$. Так как точка касания лежит на сфере, то ее координаты удовлетворяют уравнению сферы:
$$(x-x_c)^2 + (y-y_c)^2 + (z-z_c)^2 = R^2,$$
где $(x_c,y_c,z_c)$ — координаты центра сферы. Подставляя выражение для $z$ в это уравнение, получаем квадратное уравнение относительно $x$ и $y$:
$$(x-x_c)^2 + (y-y_c)^2 + (z_0 pm sqrt{R^2 — (x-x_0)^2 — (y-y_0)^2} — z_c)^2 = R^2.$$
Решая его относительно $x$ и $y$, получаем два решения, соответствующие двум точкам касания. Расстояние между этими точками равно удвоенной высоте, опущенной из точки касания на прямую, соединяющую точку $A$ и центр сферы. Эта высота равна $sqrt{R^2 — d^2}$, где $d$ — расстояние между точкой $A$ и центром сферы. Таким образом, длина отрезка прямой от точки $A$ до точки касания равна $sqrt{R^2 — d^2}$.
б) Точки касания всех прямых образуют окружность на сфере, называемую окружностью касания. Чтобы это показать, заметим, что любая прямая, проходящая через точку $A$ и касающаяся сферы, лежит в плоскости, проходящей через точку $A$ и центр сферы. Эта плоскость пересекает сферу окружностью, которая и является окружностью касания.
