Вопрос школьника
Из точки К к окружности с центром О проведены две прямые, касающиеся данной окружности в точках М и N. Найдите отрезки КМ и KN, если ОК =12 см, ∠MON = 120°.
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольник ОМК. Он является равнобедренным, так как ОМ и ОН являются радиусами окружности, а значит, равны между собой. Также угол ОМК равен половине угла MON, то есть 60°. Значит, угол ОКМ равен 60°, а угол КОМ равен 30°.
Теперь мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения отрезков КМ и KN. Обозначим КМ как х.
Так как угол ОКМ равен 60°, то мы можем использовать теорему синусов для треугольника ОКМ:
sin 60° = х / 12
√3 / 2 = х / 12
х = 6√3 см
Теперь рассмотрим треугольник ОКН. Угол ОКН также равен 60°, а угол КОН равен 30°. Мы можем использовать теорему косинусов:
KN² = 12² + x² — 2 * 12 * x * cos 60°
KN² = 144 + x² — 12x
Также мы можем использовать теорему синусов для треугольника ОКН:
sin 30° = x / KN
1/2 = x / KN
KN = 2x = 12√3 см
Итак, мы нашли, что отрезок КМ равен 6√3 см, а отрезок KN равен 12√3 см.
