Вопрос школьника
Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины наклонных, если:
1) одна на 26 см больше другой, а проекции наклонных равны 12 см и 40 см;
2) наклонные относятся как 1 : 2, а проекции наклонных равны 1 см и 7 см.
Ответ от учителя
1) Пусть длина более короткой наклонной равна х, тогда длина более длинной наклонной будет х + 26. Из условия задачи известны проекции наклонных на плоскость: 12 см и 40 см. Обозначим угол между плоскостью и более короткой наклонной за α, а угол между плоскостью и более длинной наклонной за β. Тогда:
tg α = 12 / х
tg β = 40 / (х + 26)
Нам нужно найти длины наклонных, поэтому воспользуемся теоремой косинусов для треугольников, образованных наклонными и проекциями на плоскость:
х² = 12² + a² — 2 * 12 * a * cos α
(х + 26)² = 40² + a² — 2 * 40 * a * cos β
Решая эту систему уравнений, мы найдем длины наклонных:
a = 22 см
х = 20 см
х + 26 = 46 см
Ответ: длина более короткой наклонной равна 20 см, длина более длинной наклонной равна 46 см.
2) Пусть длина более короткой наклонной равна х, тогда длина более длинной наклонной будет 2х. Из условия задачи известны проекции наклонных на плоскость: 1 см и 7 см. Обозначим угол между плоскостью и более короткой наклонной за α, а угол между плоскостью и более длинной наклонной за β. Тогда:
tg α = 1 / х
tg β = 7 / 2х
Нам нужно найти длины наклонных, поэтому воспользуемся теоремой косинусов для треугольников, образованных наклонными и проекциями на плоскость:
х² = 1² + a² — 2 * 1 * a * cos α
(2х)² = 7² + a² — 2 * 7 * a * cos β
Решая эту систему уравнений, мы найдем длины наклонных:
a = 5 см
х = 4 см
2х = 8 см
Ответ: длина более короткой наклонной равна 4 см, длина более длинной наклонной равна 8 см.
