Вопрос школьника
Из точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонная, сумма их длин равна 17 см, а их разность равна 1 см. Найдите расстояние от точки до прямой.
Ответ от учителя
Пусть точка, из которой проведены перпендикуляр и наклонная, называется A, а прямая — BC. Пусть длина перпендикуляра равна x, а длина наклонной — y. Тогда по условию задачи:
x + y = 17 (1)
y — x = 1 (2)
Решая систему уравнений (1) и (2) относительно x и y, получаем:
y = 9
x = 8
Теперь нам нужно найти расстояние от точки A до прямой BC. Для этого можно воспользоваться формулой для расстояния от точки до прямой:
d = |(Ax + By + C)/sqrt(A^2 + B^2)|
где A, B, C — коэффициенты уравнения прямой BC в общем виде.
Чтобы найти коэффициенты A, B, C, нужно знать уравнение прямой BC. Пусть точки B и C имеют координаты (b, 0) и (c, 1) соответственно. Тогда уравнение прямой BC имеет вид:
y — 0 = (1 — 0)/(c — b)*(x — b)
y = x/(c — b) — b/(c — b)
A = 1, B = -1/(c — b), C = b/(c — b)
Подставляя значения A, B, C, x и y в формулу для расстояния от точки до прямой, получаем:
d = |(8 — 9/(c — b) + b/(c — b))/sqrt(1 + 1/(c — b)^2)|
Чтобы найти расстояние d, нужно найти значения b и c. Для этого можно воспользоваться тем, что точка A лежит на перпендикуляре, а значит, ее координата по оси y равна 0. Тогда:
y = x/(c — b) — b/(c — b) = 0
x = b/(c — b)
b = xc/(x + c)
Подставляя это значение b в уравнение для наклонной, получаем:
y = x/(c — xc/(x + c)) — xc/(x + c)/(c — xc/(x + c))
y = x*(x + c)/(c^2 — x^2)
Подставляя значение y и b в уравнение (2), получаем:
x*(x + c)/(c^2 — x^2) — x = 1
x*(x + c) — x*(c^2 — x^2) = c^2 — x^2
x^3 + cx^2 — cx — c^2 = 0
Решая это уравнение относительно x, получаем:
x = 0.5
c = 17/8
Подставляя эти значения в формулу для расстояния от точки до прямой, получаем:
d = |(8 — 9/(17/8 — 0.5) + 0.5/(17/8 — 0.5))/sqrt(1 + 1/(17/8 — 0.5)^2)|
d = 4/3
Ответ: расстояние от точки до прямой равно 4/3 см.
