Вопрос школьника
Из точки M катета AC прямоугольного треугольника ABC проведен перпендикуляр MH к гипотенузе AB. Докажите, что ∠MHC = ∠MBC.
Ответ от учителя
Для доказательства равенства углов ∠MHC и ∠MBC воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника и его высоты.
Из прямоугольного треугольника ABC следует, что ∠ABC = 90°. Также из построения следует, что ∠AMH = 90°, так как MH проведен перпендикулярно катету AC.
Рассмотрим треугольник MHC. В нем угол ∠MHC является прямым, так как MH является высотой треугольника. Также из построения следует, что угол ∠MCH равен углу ∠ACB, так как это соответствующие углы при параллельных прямых MH и BC.
Теперь рассмотрим треугольник MBC. В нем угол ∠MBC является прямым, так как BC является гипотенузой прямоугольного треугольника ABC. Также из построения следует, что угол ∠MCB равен углу ∠ACH, так как это соответствующие углы при параллельных прямых MH и BC.
Из полученных равенств следует, что ∠MCH = ∠ACB и ∠MCB = ∠ACH. Но так как ∠ACB = 90°, то ∠ACH = 90° — ∠ABC. Подставляя это выражение в равенство ∠MCB = ∠ACH, получаем ∠MCB = 90° — ∠ABC.
Таким образом, мы получили, что ∠MCH = ∠ACB и ∠MCB = 90° — ∠ABC = ∠MBC. Следовательно, ∠MHC = ∠MBC.
