Вопрос школьника
Из точки M, лежащей во внутренней области острого угла A, проведены перпендикуляры MH и MK к сторонам угла. Известно, что ∠AMH = ∠AMK. Докажите, что луч AM – биссектриса угла A.
Ответ от учителя
Для доказательства того, что луч AM является биссектрисой угла A, нужно показать, что угол HAM равен углу KAM.
Рассмотрим треугольники AMH и AMK. У них общая сторона AM, а также равные углы AMH и AMK (по условию задачи). Также у них перпендикуляры MH и MK, соответственно, к сторонам угла A.
Из этого следует, что треугольники AMH и AMK подобны (по признаку угол-прилежащий-катету). Значит, отношение сторон AM и AH равно отношению сторон AM и AK:
AM/AH = AM/AK
Отсюда следует, что AH = AK, так как AM является общей стороной и может быть сокращена. Это означает, что точка H лежит на биссектрисе угла A, так как расстояние от точки M до стороны угла A равно.
Таким образом, угол HAM равен углу KAM, что и означает, что луч AM является биссектрисой угла A.
