Вопрос школьника
Из точки M стороны AB треугольника ABC с углом C, равным 72°, проведен перпендикуляр MH к стороне AC. Известно, что ∠AMH = 18°. Докажите, что AB = BC.
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольник AMH. Угол AMH равен 90°, а угол AMB равен 72° (так как угол C равен 72°). Значит, угол BMH равен 18° (так как сумма углов треугольника равна 180°).
Также известно, что угол AMH равен 18°. Значит, угол HMA равен 54° (так как сумма углов треугольника равна 180°).
Рассмотрим теперь треугольник ABC. Угол BAC равен 180° — 72° — 54° = 54° (так как сумма углов треугольника равна 180°). Значит, угол ABC равен 72° (так как угол C равен 72°).
Таким образом, углы ABM и BAM равны 72° — 18° = 54°. Значит, треугольник ABM равнобедренный, и AB = BM.
Также углы BAC и ABC равны, значит, сторона AB равна стороне BC.
Таким образом, мы доказали, что AB = BC.
