Вопрос школьника
Из точки O к плоскости а проведены равные наклонные O A и OB, угол между которыми равен 60°, а угол между их проекциями на эту плоскость равен 90°. Вычислите углы между наклонными и плоскостью а.
Ответ от учителя
Пусть точка O находится на расстоянии h от плоскости а, а длина наклонных OA и OB равна l. Тогда, по теореме Пифагора, длина проекций OA’ и OB’ на плоскость а равна √(l^2 — h^2).
Угол между проекциями равен 90°, поэтому проекции являются катетами прямоугольного треугольника, а гипотенуза этого треугольника равна l. Тогда, по теореме Пифагора, h^2 = l^2 — (√(l^2 — h^2))^2 = l^2 — l^2/2 = l^2/2.
Таким образом, h = l/√2. Угол между наклонной OA и плоскостью а равен углу между OA и ее проекцией OA’, то есть arcsin(h/l) = arcsin(1/√2) ≈ 45°. Аналогично, угол между наклонной OB и плоскостью а также равен 45°.
