Вопрос школьника
Из точки О на плоскости выходят 4 луча, следующих друг за другом по часовой стрелке: ОА, ОВ, ОС и OD. Известно, что сумма углов АОВ и COD равна 180°. Докажите, что биссектрисы углов АОС и BOD перпендикулярны.
Ответ от учителя
Для начала, нарисуем данную ситуацию:
Заметим, что углы АОС и BOD образуют пару вертикальных углов, то есть они равны между собой. Обозначим этот угол через α.
Также, сумма углов АОВ и COD равна 180°, что означает, что эти углы являются смежными и дополнительными. То есть:
∠АОВ + ∠COD = 180°
Разделим обе части на 2:
(∠АОВ + ∠COD) / 2 = 90°
Заметим, что лучи ОА и ОС являются биссектрисами угла АОС, а лучи ОВ и OD являются биссектрисами угла BOD. Обозначим углы АОС и BOD через β и γ соответственно.
Тогда, по определению биссектрисы, имеем:
∠АОβ = ∠βОС
∠BОγ = ∠γOD
Также, заметим, что углы β и γ являются половинами угла α, так как они являются биссектрисами. То есть:
β = α/2
γ = α/2
Тогда, подставляя эти равенства в предыдущее уравнение, получаем:
∠АОβ + ∠BОγ = α
Но мы знаем, что углы АОС и BOD равны между собой, то есть β + γ = α. Тогда:
∠АОβ + ∠BОγ = β + γ
Таким образом, мы получили, что углы АОβ, βОС, BОγ и γOD образуют фигуру, в которой две противоположные стороны параллельны и равны между собой. Это означает, что эта фигура является параллелограммом.
Из свойств параллелограмма следует, что диагонали этой фигуры делятся пополам и пересекаются в точке, которая является серединой каждой из диагоналей. То есть, точка пересечения биссектрис ОА и ОС лежит на середине линии BC, а точка пересечения биссектрис ОВ и OD лежит на середине линии AD.
Но мы знаем, что линии AD и BC перпендикулярны друг другу, так как они являются биссектрисами угла AOC. Тогда, точки их пересечения с биссектрисами также являются точками пересечения перпендикулярных линий, то есть они лежат на пересечении этих линий. То есть, биссектрисы углов АОС и BOD перпендикулярны друг другу.
Таким образом, мы доказали, что биссектрисы углов АОС и BOD перпендикулярны.
