Вопрос школьника
Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние 1 м, проведены две равные наклонные. Найдите расстояние между основаниями наклонных, если известно, что наклонные перпендикулярны и образуют с перпендикуляром к плоскости углы, равные 60°
Ответ от учителя
Пусть точка, отстоящая от плоскости на расстояние 1 м, называется точкой A. Пусть основания наклонных находятся на расстоянии x от плоскости, а их концы находятся на расстоянии y от плоскости. Тогда треугольник ABD (где D — середина отрезка BC) является прямоугольным, так как наклонные перпендикулярны.
Также из условия задачи следует, что угол BAC равен 60°, так как он образован перпендикуляром к плоскости и одной из наклонных. Значит, угол BDC также равен 60°, так как он дополнителен к углу BAC.
Теперь можно применить теорему косинусов к треугольнику ABD:
AB² = AD² + BD² — 2AD·BD·cos(60°)
AB² = (x+1)² + y² — 2(x+1)y·cos(60°)
AB² = x² + 2x + 1 + y² — (x+1)y
Аналогично, применяя теорему косинусов к треугольнику BCD, получаем:
BC² = BD² + CD² — 2BD·CD·cos(60°)
BC² = y² + (x-1)² — 2y(x-1)·cos(60°)
BC² = x² — 2x + 1 + y² — (x-1)y
Так как AB = BC (наклонные равны), то можно приравнять выражения для AB² и BC²:
x² + 2x + 1 + y² — (x+1)y = x² — 2x + 1 + y² — (x-1)y
4x = 2y
y = 2x
Теперь можно подставить это значение y в любое из уравнений для AB² или BC² и решить его относительно x:
AB² = x² + 2x + 1 + y² — (x+1)y
AB² = x² + 2x + 1 + 4x² — 2xy
AB² = 5x² + 2x + 1
BC² = x² — 2x + 1 + y² — (x-1)y
BC² = x² — 2x + 1 + 4x² — 2xy
BC² = 5x² — 2x + 1
AB² = BC²
5x² + 2x + 1 = 5x² — 2x + 1
4x = 0
x = 0
Таким образом, расстояние между основаниями наклонных равно 2x = 0 м. Это означает, что наклонные являются одной прямой, проходящей через точку A перпендикулярно плоскости.
