Вопрос школьника
Из точки, расположенной вне окружности, проведены к ней касательная и секущая. Длина касательной равна 6. Секущая высекает на окружности хорду длиной 5. Найдите длину отрезка секущей, расположенного вне окружности.
Ответ от учителя
Пусть точка, из которой проведены касательная и секущая, находится слева от окружности. Обозначим эту точку буквой A, а точки пересечения касательной и секущей с окружностью — соответственно B и C (см. рисунок).
Так как касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то треугольник ABO прямоугольный. По теореме Пифагора имеем:
$AB^2 = AO^2 — OB^2$
где $AO$ — радиус окружности, $OB$ — расстояние от точки O до касательной.
Так как $OB$ равно длине касательной, то $OB = 6$. Радиус окружности нам неизвестен, но мы можем выразить его через длину хорды $BC$.
Обозначим середину хорды $BC$ буквой D. Тогда треугольник $OBD$ — прямоугольный, и мы можем применить теорему Пифагора еще раз:
$OD^2 = OB^2 — BD^2$
Но $BD$ — это половина длины хорды $BC$, то есть $BD = frac{5}{2}$. Таким образом, получаем:
$OD^2 = 6^2 — left(frac{5}{2}right)^2 = frac{131}{4}$
Отсюда:
$OD = sqrt{frac{131}{4}} = frac{sqrt{131}}{2}$
Теперь мы можем найти длину отрезка секущей, расположенного вне окружности. Обозначим эту длину буквой $DE$. Тогда треугольник $ODE$ — прямоугольный, и мы можем применить теорему Пифагора еще раз:
$DE^2 = OD^2 — OE^2$
Но $OE$ — это радиус окружности, то есть $OE = AO$. Мы не знаем точного значения радиуса, но заметим, что треугольник $ABC$ равнобедренный (так как угол $BOC$ — вписанный, а углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны). Значит, $AO = CO$, и $OE = frac{5}{2}$.
Таким образом, получаем:
$DE^2 = frac{131}{4} — left(frac{5}{2}right)^2 = frac{111}{4}$
Отсюда:
$DE = sqrt{frac{111}{4}} = frac{sqrt{111}}{2}$
Таким образом, длина отрезка секущей, расположенного вне окружности, равна $frac{sqrt{111}}{2}$.
