Вопрос школьника
Из точки С окружности проведен перпендикуляр CD к диаметру АВ. Докажите, что CD2 = AD•BD. Пусть АВ — диаметр окружности; CD ⊥ AB
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения воспользуемся теоремой Пифагора для треугольников. Рассмотрим треугольники ACD и BCD.
В треугольнике ACD гипотенузой является отрезок CD, а катетами — отрезки AD и AC. Согласно теореме Пифагора, имеем:
CD^2 = AD^2 + AC^2
Аналогично, в треугольнике BCD гипотенузой является отрезок CD, а катетами — отрезки BD и BC. Согласно теореме Пифагора, имеем:
CD^2 = BD^2 + BC^2
Заметим, что отрезки AC и BC равны, так как они являются радиусами окружности, а значит, имеют одинаковую длину. Таким образом, можно записать:
AD^2 + AC^2 = BD^2 + BC^2
Вычитая из обеих частей этого равенства AC^2, получаем:
AD^2 = BD^2 + BC^2 — AC^2
Заметим, что отрезки BC и AC являются катетами прямоугольного треугольника ABC, а значит, согласно теореме Пифагора, имеем:
BC^2 + AC^2 = AB^2
Подставляя это выражение в предыдущее равенство, получаем:
AD^2 = BD^2 + AB^2 — AC^2
Заметим, что отрезки AB и AC являются радиусами окружности, а значит, имеют одинаковую длину. Таким образом, можно записать:
AD^2 = BD^2 + AB^2 — AB^2
Или, что то же самое:
AD^2 = BD^2
Отсюда следует, что CD^2 = AD^2 + AC^2 = AD^2 + AB^2 — BC^2 = BD^2 + BC^2 — BC^2 = BD^2.
Таким образом, мы доказали, что CD^2 = AD^2 + AC^2 и CD^2 = BD^2 + BC^2, а значит, CD^2 = AD^2 + AC^2 = BD^2 + BC^2 = BD^2 + AB^2 — AC^2 = AD^2, что и требовалось доказать.
