Вопрос школьника
Із точок A i В, які лежать в одній півплощині відносно прямої m, опущено на цю пряму перпендикуляр и АС i BD відповідно. Точки А і В рівновіддалені від прямої m, точка О — середина відрізка CD. Доведіть, що трикутник АОВ piвнобедрений
Ответ от учителя
Для доведення того, что треугольник АОВ равнобедренный, нужно показать, что отрезки АО и ВО равны.
Рассмотрим треугольник АСО. Он прямоугольный, так как АС — перпендикуляр к прямой m, а ОС — медиана треугольника CBD, проведенная к стороне CD. Значит, по теореме Пифагора:
АО² = АС² + ОС²
Рассмотрим теперь треугольник ВОD. Он также прямоугольный, так как BD — перпендикуляр к прямой m, а ОD — медиана треугольника ACD, проведенная к стороне AC. Значит, по теореме Пифагора:
ВО² = BD² + ОD²
Так как точки А и В равновдалены от прямой m, то АС = BD. Подставим это равенство в формулу для АО²:
АО² = АС² + ОС² = BD² + ОС² = ВО²
Таким образом, мы доказали, что АО = ВО, что и означает, что треугольник АОВ равнобедренный.
