Вопрос школьника
Из вершин А и В равностороннего треугольника АВС восстановлены перпендикуляры АА1 и ВВ1 к плоскости треугольника. Найдите расстояние от вершины С до середины отрезка А1B1, если АВ = 2 м, СА1 = 3 м; СВ1 = 7 м и отрезок А1B1 не пересекает плоскость
Ответ от учителя
Из равностороннего треугольника АВС следует, что СВ = АС = ВА = 2 м. Также из условия задачи известны длины отрезков СА1 = 3 м и СВ1 = 7 м.
Рассмотрим треугольник А1В1С. Он является прямоугольным, так как А1В1 перпендикулярен к плоскости треугольника АВС, а значит, и к СС1. Также известно, что А1В1 не пересекает плоскость треугольника АВС, а значит, лежит в плоскости, перпендикулярной СС1. Таким образом, треугольник А1В1С является прямоугольным и прямоугольный треугольник СС1А1 является его проекцией на плоскость треугольника АВС.
Из прямоугольного треугольника СС1А1 можно найти длину отрезка СА1:
СА1 = √(СС1² — А1С²) = √(7² — 2²) = √45 = 3√5 м.
Также из прямоугольного треугольника А1В1С можно найти длину отрезка А1С:
А1С = √(А1А² + АС²) = √(7² + 3²) = √58 м.
Таким образом, расстояние от вершины С до середины отрезка А1B1 равно половине длины отрезка А1В1:
(1/2)А1В1 = (1/2)√(А1С² + СВ1²) = (1/2)√(58 + 49) = (1/2)√107 м.
