Вопрос школьника
Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 27, тангенс угла BAC равен 9/40. Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC.
Ответ от учителя
Пусть радиус вписанной окружности треугольника ABC равен r. Тогда известно, что высота CP является биссектрисой угла BCP, а значит, отрезок BP делит сторону AC на отрезки AP и PC, причем AP/PC = BC/BP.
Так как угол BAC является прямым, то из теоремы Пифагора следует, что AB² + AC² = BC². Также известно, что тангенс угла BAC равен 9/40, что означает, что tg(BAC) = AB/AC = 9/40.
Из этих двух уравнений можно выразить AB и AC через BC:
AB = 9BC/40
AC = 31BC/40
Также известно, что радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 27. Используя формулу для радиуса вписанной окружности, можно выразить площадь треугольника BCP через этот радиус:
S(BCP) = r·(BC+CP+BP)/2 = 27·(BC+CP+BP)/2
С другой стороны, площадь треугольника BCP можно выразить через биссектрису угла BCP и стороны BC:
S(BCP) = BC·CP·sin(B/2)
Так как CP является высотой треугольника ABC, то S(ABC) = S(BCP) + S(ABP), где ABP — треугольник, образованный сторонами AB, BP и высотой из вершины B.
Выразим S(ABP) через стороны треугольника ABC:
S(ABP) = AB·BP·sin(A/2) = (9BC/40)·(AC-AB)·sin(A/2) = (9BC/40)·(31BC/40-9BC/40)·sin(A/2) = 27BC²/800·sin(A/2)
Тогда получаем уравнение для площади треугольника ABC:
S(ABC) = BC·CP·sin(B/2) + 27BC²/800·sin(A/2)
Выразим BC через r, используя формулу для радиуса вписанной окружности:
BC = 2S(ABC)/(a+b+c) = 2S(ABC)/(2r+AC+AB) = S(ABC)/(r+31BC/40)
Тогда получаем уравнение для радиуса вписанной окружности:
r = 27·(BC+CP+BP)/(2·S(ABC)) = 27·(r+31BC/40+CP+BP)/(2·(BC·CP·sin(B/2)+27BC²/800·sin(A/2)))
Осталось выразить CP и BP через стороны треугольника ABC. Из теоремы Пифагора следует, что CP² = AC² — AP² = (31BC/40)² — (9BC/40)² = 527BC²/1600. Аналогично, BP² = BC² — CP² = 1073BC²/1600.
Теперь можно подставить все известные значения в уравнение для r и решить его численно:
r = 27·(r+31BC/40+CP+BP)/(2·(BC·CP·sin(B/2)+27BC²/800·sin(A/2)))
r = 27·(r+31r/40+sqrt(527/1600)·BC+sqrt(1073/1600)·BC)/(2·(BC·sqrt(527/1600)·sin(B/2)+27BC²/800·sin(A/2)))
r = 27·(r+31r/40+sqrt(527/1600)·r+sqrt(1073/1600)·r)/(2·(r·sqrt(527/1600)·sin(B/2)+27r²/800·sin(A/2)))
r = 27·(1+31/40+sqrt(527/1600)+sqrt(1073/1600))/(2·(r·sqrt(527/1600)·9/40+27r²/800·sqrt(1-(9/40)²)))
r = 27·(71/40+sqrt(527/1600)+sqrt(1073/1600))/(r·sqrt(527/1600)·9/40+27r²/800·sqrt(119/1600))
r = 27·(71/40+sqrt(527/1600)+sqrt(1073/1600))·(40/9)·sqrt(1600/527)·(r/27)·sqrt(119/1600+1-(9/40)²)
r = 1600·sqrt(119/1600+1-(9/40)²)·(71+40·sqrt(527)+40·sqrt(1073))·r/(527·9·(71+40·sqrt(527)+40·sqrt(1073)) — 800·27)
r = 1600·sqrt(119/1600+1-(9/40)²)·(71+40·sqrt(527)+40·sqrt(1073))·r/(-800·27 + 527·9·(71+40·sqrt(527)+40·sqrt(1073)))
r ≈ 18.5
Ответ: радиус вписанной окружности треугольника ABC равен примерно 18.5.
