Вопрос школьника
Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 8, тангенс угла BAC равен 4/3. Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC
Ответ от учителя
Пусть радиус вписанной окружности треугольника ABC равен r. Тогда, по свойству вписанной окружности, отрезки BP и PC равны r.
Также, по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AC и катетами AB и BC:
AB^2 + BC^2 = AC^2
Так как тангенс угла BAC равен 4/3, то отношение катетов AB/BC равно 4/3. Поэтому можно записать:
AB = 4x, BC = 3x, AC = 5x
где x — некоторый коэффициент.
Тогда:
AB^2 + BC^2 = (4x)^2 + (3x)^2 = 16x^2 + 9x^2 = 25x^2
AC^2 = (5x)^2 = 25x^2
Значит, 16x^2 + 9x^2 = 25x^2, то есть треугольник ABC является прямоугольным.
Так как радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 8, то можно записать:
S(BCP) = p*rp = (BC + CP + BP)*r/2 = (3x + 2r)*r/2 = 8r
где p — полупериметр треугольника BCP, rp — радиус вписанной окружности треугольника BCP.
Так как треугольник ABC прямоугольный, то его площадь можно выразить как:
S(ABC) = AB*BC/2 = 6x^2
С другой стороны, площадь треугольника ABC можно выразить через радиус вписанной окружности и полупериметр p:
S(ABC) = rp = p*r
Так как треугольник ABC прямоугольный, то полупериметр p равен AC/2 + BC/2 + AB = 5x/2 + 3x/2 + 4x = 6x
Значит, можно записать:
rp = p*r = 6xr
Таким образом, имеем систему уравнений:
16x^2 + 9x^2 = 25x^2
(3x + 2r)*r/2 = 8r
6xr = rp
Решая ее, получаем:
x = 3
r = 6
Значит, радиус вписанной окружности треугольника ABC равен 6.
