Вопрос школьника
Из вершины прямого угла меньшего основания прямоугольной трапеции под углом в 45 градусов к этому основанию проведем луч, который проходит через середину большей боковой стороны. Докажите, что меньшая боковая сторона этой трапеции равна сумме оснований.
Ответ от учителя
Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, где AB и CD — основания, BC и AD — боковые стороны, причем AB < CD. Пусть M - середина стороны CD, N - точка пересечения луча, проведенного из вершины прямого угла меньшего основания под углом 45 градусов к этому основанию, с прямой, проходящей через точку M и параллельной стороне AB. Так как луч проходит через середину стороны CD, то точка N делит эту сторону пополам, то есть NC = ND. Также, так как угол NAB равен 45 градусам, то треугольник ANB - прямоугольный и равнобедренный, то есть AN = NB. Рассмотрим треугольник BNC. Так как BN = AN и угол BNC равен 90 градусам, то этот треугольник равнобедренный, то есть BC = NC = ND. Таким образом, мы получили, что BC = ND = CD - AB. Но так как AB < CD, то CD - AB > AB, то есть BC > AB.
Также, так как AD и BC — параллельные стороны, то угол ADB равен 90 градусам. Таким образом, мы получили, что треугольник ADB — прямоугольный, и по теореме Пифагора:
AD^2 = AB^2 + BD^2.
Но так как BD = CD — BC, то
AD^2 = AB^2 + (CD — BC)^2.
Раскрывая скобки, получаем:
AD^2 = AB^2 + CD^2 — 2CD·BC + BC^2.
Так как BC > AB, то BC^2 > AB^2, и мы можем записать:
AD^2 < AB^2 + CD^2 - 2CD·AB + BC^2 = (AB + CD)^2. Таким образом, мы получили, что AD < AB + CD. Но так как AD и AB - основания трапеции, то мы доказали, что меньшая боковая сторона этой трапеции равна сумме оснований.
