Вопрос школьника
Из вершины прямого угла С прямоугольного треугольника ABC проведён перпендикуляр CD к гипотенузе, а из точки D — перпендикуляры DE и DF к катетам АС и ВС. Докажите, что: а) CD3 = АВ x АЕ x BF; б) АЕ2 + BF2 + 3CD2 = АВ2; в) кореньAE2 + кореньBF2 = кореньAB2.
Ответ от учителя
а) Рассмотрим подобные треугольники ACD и AEB. Они подобны, так как угол ACD равен углу AEB (они оба прямые), угол CAD равен углу EAB (они оба прямые), а значит, угол AED равен углу ACD. Таким образом, мы получаем следующее соотношение между сторонами треугольников:
AC/CD = AE/EB
Отсюда можно выразить CD:
CD = AC * EB / AE
Теперь рассмотрим подобные треугольники BCD и BFA. Они подобны, так как угол BCD равен углу BFA (они оба прямые), угол CBD равен углу FBA (они оба прямые), а значит, угол BFD равен углу BCD. Таким образом, мы получаем следующее соотношение между сторонами треугольников:
BC/CD = BF/FA
Отсюда можно выразить CD:
CD = BC * FA / BF
Сравнивая два полученных выражения для CD, получаем:
AC * EB / AE = BC * FA / BF
Отсюда можно выразить CD в кубе:
CD^3 = AC * BC * EB * FA / (AE * BF)
Заметим, что AC * BC = AB^2 (теорема Пифагора), а EB * FA = AE * BF (подобие треугольников AEB и BFA). Подставляя это в предыдущее выражение, получаем:
CD^3 = AB^4 / (AE * BF)
Или, переставляя местами, получаем:
CD^3 = AB * AE * BF
б) Из предыдущего пункта мы знаем, что CD^3 = AB * AE * BF. Также заметим, что треугольники ACD и BCD подобны треугольникам AEB и BFA соответственно, так как углы CAD и CBD равны углам EAB и FBA соответственно, а углы ACD и BCD прямые. Таким образом, мы можем записать следующие соотношения между сторонами треугольников:
AC/CD = AE/EB
BC/CD = BF/FA
Возводим оба равенства в квадрат и складываем:
(AC/CD)^2 + (BC/CD)^2 = (AE/EB)^2 + (BF/FA)^2
Заменяем CD^2 на AB * AE * BF (из предыдущего пункта):
AC^2 / (AB * AE * BF) + BC^2 / (AB * AE * BF) = AE^2 / (AB * BF) + BF^2 / (AB * AE)
Упрощаем:
AC^2 + BC^2 = AB * (AE^2 + BF^2 + 3CD^2)
Заменяем CD^2 на AB * AE * BF (из предыдущего пункта):
AC^2 + BC^2 = AB * (AE^2 + BF^2 + 3AB * AE * BF / AB)
Упрощаем:
AC^2 + BC^2 = AB^2 + 3AE^2 * BF^2 / AB
Или, переставляя местами:
AE^2 + BF^2 + 3CD^2 = AB^2 / 3
в) Из предыдущего пункта мы знаем, что:
AE^2 + BF^2 + 3CD^2 = AB^2 / 3
Умножаем обе части на 3:
3AE^2 + 3BF^2 + 9CD^2 = AB^2
Выражаем корень из CD^2 через AB и AE, как в предыдущих пунктах:
CD^2 = AB * AE * BF / 3
Подставляем это выражение в предыдущее:
3AE^2 + 3BF^2 + AB * AE * BF = AB^2
Выражаем корень из AE^2 и BF^2 через AB:
AE^2 + BF^2 = AB^2 — AB * AE * BF / 3
Или, переставляя местами:
корень(AE^2) + корень(BF^2) = корень(AB^2 — AB * AE * BF / 3)
