Вопрос школьника
Из вершины тупого угла равнобедренной трапеции ABCD проведен перпендикуляр CE к прямой AD, содержащей большее основание. Докажите, что отрезок AE равен средней линии трапеции.
Ответ от учителя
Для начала, обозначим точку пересечения CE и BD как F. Так как трапеция ABCD равнобедренная, то BD является медианой и высотой трапеции. Также, так как угол BCD тупой, то точка F лежит на отрезке BD, но вне трапеции.
Рассмотрим треугольник AEF. Так как CE является высотой треугольника, то AE и EF будут перпендикулярны. Также, так как трапеция ABCD равнобедренная, то угол BCD равен углу ADC, а значит, угол ACD равен углу BDC. Так как угол BDC прямой, то угол ACD также прямой. Таким образом, треугольник ACD является прямоугольным, а значит, по теореме Пифагора, AC^2 = AD^2 + CD^2.
Теперь рассмотрим треугольник CEF. Так как CE перпендикулярен AD, то угол CEF равен углу ACD. Также, так как треугольник AEF прямоугольный, то угол AFE равен углу CEF. Таким образом, треугольники AEF и CEF подобны по двум углам, а значит, отношение длин сторон будет равно отношению длин гипотенуз: AE/CE = EF/CF.
Так как треугольник AEF прямоугольный, то EF равен половине гипотенузы треугольника ACD, то есть EF = CD/2. Также, так как точка F лежит на медиане BD, то BF = FD, а значит, CD = 2BF. Таким образом, EF/CF = (CD/2)/(CE — BF) = BF/(CE — BF) = AE/CE.
Из полученного равенства следует, что AE = EF = CD/2, то есть отрезок AE равен средней линии трапеции ABCD.
