Вопрос школьника
Из вершины В параллелограмма ABCD опущен перпендикуляр BE на диагональ АС. Через точку А проведена прямая т, перпендикулярная прямой AD, а через точку С — прямая п, перпендикулярная прямой CD. Докажите, что точка пересечения прямых тип принадлежит прямой BE.
Ответ от учителя
Пусть точка пересечения прямых т и п обозначается как F. Также обозначим точку пересечения прямых BE и т как G.
Так как BE перпендикулярна AC, то треугольник ABE прямоугольный, и мы можем применить теорему Пифагора:
$AB^2 = AE^2 + BE^2$
Также заметим, что треугольник ADF также прямоугольный, так как т перпендикулярна AD:
$AD^2 = AF^2 + DF^2$
Аналогично, треугольник CDF прямоугольный, так как п перпендикулярна CD:
$CD^2 = CF^2 + DF^2$
Мы можем выразить DF из двух последних уравнений:
$DF^2 = AD^2 — AF^2$
$DF^2 = CD^2 — CF^2$
Приравняв эти два выражения, получим:
$AD^2 — AF^2 = CD^2 — CF^2$
$AF^2 — CF^2 = AD^2 — CD^2$
Заметим, что левая часть этого уравнения равна разности квадратов (AF + CF)(AF — CF), а правая часть равна разности квадратов (AD + CD)(AD — CD). Таким образом, мы можем записать:
$(AF + CF)(AF — CF) = (AD + CD)(AD — CD)$
Теперь заметим, что точки F и G лежат на одной прямой BE, поэтому мы можем выразить расстояние между ними через отрезки AE и EC:
$FG = AE + EC$
Также заметим, что треугольник ACF прямоугольный, так как т и п перпендикулярны к его сторонам. Мы можем применить теорему Пифагора к этому треугольнику:
$AC^2 = AF^2 + CF^2$
$AC^2 — AF^2 = CF^2$
Теперь мы можем выразить CF через отрезки AD, CD и AF:
$CF^2 = AC^2 — AF^2$
$CF^2 = AD^2 + CD^2 — AF^2$
$CF^2 — AD^2 + AF^2 = CD^2$
Таким образом, мы можем записать:
$(AF + CF)(AF — CF) = (AD + CD)(AD — CD)$
$(AF + sqrt{AD^2 + CD^2 — AF^2})(AF — sqrt{AD^2 + CD^2 — AF^2}) = (AD + CD)(AD — CD)$
$AF^2 — AD^2 — CD^2 + 2sqrt{AD^2 + CD^2 — AF^2} cdot AF — AF^2 + AD^2 — CD^2 = AD^2 — CD^2$
$2sqrt{AD^2 + CD^2 — AF^2} cdot AF = 2CD^2$
$sqrt{AD^2 + CD^2 — AF^2} cdot AF = CD^2$
$AF^2 cdot AE^2 + AE^2 cdot EC^2 — AF^2 cdot EC^2 = CD^4$
$AE^2 cdot (AB^2 — BE^2) + EC^2 cdot BE^2 — AF^2 cdot EC^2 = CD^4$
$AE^2 cdot AB^2 + EC^2 cdot CD^2 = AE^2 cdot BE^2 + EC^2 cdot BE^2 + AF^2 cdot EC^2$
$AB^2 cdot AE^2 + CD^2 cdot EC^2 = BE^2 cdot (AE^2 + EC^2) + AF^2 cdot EC^2$
$AB^2 cdot AE^2 + CD^2 cdot EC^2 = BE^2 cdot AC^2 + AF^2 cdot EC^2$
$BE^2 = frac{AB^2 cdot AE^2 + CD^2 cdot EC^2 — AF^2 cdot EC^2}{AC^2}$
$BE^2 = frac{AB^2 cdot AE^2 + CD^2 cdot EC^2 — (AC^2 — AF^2) cdot EC^2}{AC^2}$
$BE^2 = frac{AB^2 cdot AE^2 + CD^2 cdot EC^2 — AC^2 cdot EC^2 + AF^2 cdot EC^2}{AC^2}$
$BE^2 = frac{AB^2 cdot AE^2 — AC^2 cdot EC^2 + CD^2 cdot EC^2 + AF^2 cdot EC^2}{AC^2}$
$BE^2 = frac{AB^2 cdot AE^2 — AC^2 cdot EC^2 + CD^2 cdot EC^2 + AD^2 cdot CF^2}{AC^2}$
$BE^2 = frac{AB^2 cdot AE^2 — AC^2 cdot EC^2 + CD^2 cdot EC^2 + AD^2 cdot (AC^2 — AF^2)}{AC^2}$
$BE^2 = frac{AB^2 cdot AE^2 — AC^2 cdot EC^2 + CD^2 cdot EC^2 + AD^2 cdot AC^2 — AD^2 cdot AF^2}{AC^2}$
$BE^2 = frac{AB^2 cdot AE^2 + CD^2 cdot EC^2 + AD^2 cdot AC^2 — AC^2 cdot EC^2 — AD^2 cdot AF^2}{AC^2}$
$BE^2 = frac{AB^2 cdot AE^2 + CD^2 cdot EC^2 — AF^2 cdot EC^2}{AC^2}$
Мы получили, что $BE^2$ выражается через отрезки AB, AE, CD и EC, которые являются сторонами параллелограмма ABCD. Таким образом, $BE^2$ не зависит от выбора точки F, и мы можем заключить, что точка пересечения прямых т и п лежит на прямой BE.
