Вопрос школьника
Из ядер эрбия 171 68Er при в-распаде с периодом полураспада Т1/2 = 8 ч образуются ядра тулия с периодом полураспада 2 года. В момент наблюдения в образце содержится N0 = 8*10^20 ядер эрбия. Через какую из точек, кроме начала координат, пройдёт график зависимости от времени число ядер тулия?
Ответ от учителя
Для решения задачи необходимо использовать закон радиоактивного распада, который гласит, что количество радиоактивных ядер N вещества уменьшается со временем по экспоненциальному закону:
N = N0 * e^(-λt),
где N0 — начальное количество радиоактивных ядер, λ — константа распада, t — время.
Период полураспада связан с константой распада следующим образом:
T1/2 = ln(2) / λ,
откуда λ = ln(2) / T1/2.
Для эрбия 171 имеем T1/2 = 8 ч, а для тулия — 2 года = 48 ч. Тогда константы распада будут:
λ_Er = ln(2) / T1/2_Er = ln(2) / 8 ч ≈ 0.0869 ч^-1,
λ_Tm = ln(2) / T1/2_Tm = ln(2) / 48 ч ≈ 0.0144 ч^-1.
Теперь можно записать выражение для числа ядер тулия N_Tm в зависимости от времени t:
N_Tm = N0 * (1 — e^(-λ_Tm*t)),
где (1 — e^(-λ_Tm*t)) — вероятность того, что ядро эрбия не распалось за время t и превратилось в ядро тулия.
График зависимости N_Tm от t будет иметь вид экспоненциальной кривой, начинающейся в точке (0,0) и приближающейся к асимптоте N_Tm = N0 при больших значениях времени.
Чтобы найти точку, через которую проходит график, можно воспользоваться следующим соображением. При t = T1/2_Er количество ядер тулия составит:
N_Tm(T1/2_Er) = N0 * (1 — e^(-λ_Tm*T1/2_Er)),
так как за время T1/2_Er половина ядер эрбия распадется. Подставляя численные значения, получаем:
N_Tm(T1/2_Er) ≈ 0.5 * N0 * (1 — e^(-λ_Tm*T1/2_Er)) ≈ 0.5 * N0 * (1 — e^(-0.0144*8)) ≈ 0.5 * N0 * 0.107 ≈ 4.3*10^19.
Таким образом, график зависимости N_Tm от t проходит через точку (8 ч, 4.3*10^19).
