Вопрос школьника
Изобразите куб ABCDA1B1С1D1 Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через прямую АС и точку Т, где точка Т — середина ребра ВВ1. Вычислите длину медианы ТО треугольника АТС, если АВ = 2 см.
Ответ от учителя
Куб ABCDA1B1С1D1 выглядит следующим образом:
«`
B1——C1
| /|
| A1—D1|
| | | |
| | | |
| E—-F |
|/ |
A———C
«`
Построим плоскость, проходящую через прямую АС и точку Т:
«`
B1——C1
| /|
| A1—D1|
| | | |
| | | |
| E—-F |
|/ |
A—T——C
«`
Для вычисления длины медианы ТО треугольника АТС нам нужно найти длины отрезков ТА, ТС и ОТ.
Так как точка Т — середина ребра ВВ1, то ТВ = ТВ1 = 1 см. Также известно, что АВ = 2 см. Значит, АТ = АВ/2 = 1 см.
Чтобы найти длину отрезка ТС, нам нужно знать расстояние между плоскостью АСТ и точкой С. Для этого найдем уравнение плоскости АСТ.
Так как точка Т лежит на плоскости АСТ, то координаты точки Т удовлетворяют уравнению плоскости:
«`
Ax + By + Cz + D = 0
«`
где A, B и C — коэффициенты уравнения плоскости, а D — свободный член.
Так как плоскость проходит через точки А, С и Т, то мы можем составить систему уравнений:
«`
A*Ax + B*Ay + C*Az + D = 0
A*Cx + B*Cy + C*Cz + D = 0
A*Tx + B*Ty + C*Tz + D = 0
«`
Решив эту систему, мы найдем коэффициенты уравнения плоскости:
«`
A = 1
B = 0
C = -1
D = 1
«`
Теперь мы можем найти расстояние между плоскостью АСТ и точкой С. Для этого найдем уравнение плоскости АС:
«`
Ax + By + Cz + D = 0
«`
Подставим координаты точки С и найдем свободный член D:
«`
1*x + 0*y — 1*z + D = 0
D = 1
«`
Таким образом, уравнение плоскости АС имеет вид:
«`
x — z + 1 = 0
«`
Найдем точку пересечения плоскостей АСТ и АС. Для этого решим систему уравнений:
«`
x — z + 1 = 0
x + y — z + 1 = 0
x/2 + y/2 — z/2 = 0
«`
Решив эту систему, мы получим координаты точки пересечения:
«`
x = 2/3
y = -1/3
z = 1/3
«`
Таким образом, точка пересечения плоскостей АСТ и АС имеет координаты (2/3, -1/3, 1/3).
Теперь мы можем найти длину отрезка ТС. Для этого найдем расстояние между точкой С и точкой пересечения плоскостей АСТ и АС. Используя формулу расстояния между двумя точками в пространстве, получим:
«`
d = sqrt((2/3 — 0)^2 + (-1/3 — 0)^2 + (1/3 — 0)^2) = sqrt(6)/3
«`
Таким образом, ТС = d = sqrt(6)/3.
Наконец, чтобы найти длину медианы ТО, нам нужно найти длину отрезка ОТ. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике ТОС:
«`
TO^2 = TS^2 + SO^2
«`
Так как точка О — середина ребра АВ, то ОВ = 1 см. Значит, ОС = ОВ*sqrt(2) = sqrt(2) см.
Также мы уже нашли длину отрезка ТС: ТС = sqrt(6)/3.
Таким образом, мы можем найти длину отрезка SO:
«`
SO = SC — OC = TS/sqrt(2) — ОС/2 = sqrt(6)/3sqrt(2) — sqrt(2)/2 = (sqrt(6) — sqrt(2))/6
«`
Теперь мы можем найти длину медианы ТО:
«`
TO = sqrt(TS^2 + SO^2) = sqrt((sqrt(6)/3)^2 + ((sqrt(6) — sqrt(2))/6)^2) = sqrt(2/3)
«`
Таким образом, длина медианы ТО треугольника АТС равна sqrt(2/3).
