Вопрос школьника
Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и отметьте на ребрах AA1 и CC1 точки K и L так, чтобы AK = KA1 и CL ≠ LC1. Постройте точку пересечения: прямой KL с плоскостью ABC; прямой AL с плоскостью A1B1C1.
Ответ от учителя
Для начала нарисуем параллелепипед ABCDA1B1C1D1:
«`
B1_______C1
/| /|
/ | / |
/__|____/ |
| | | |
| A1___|__D1
| / | /
| / | /
|/_______|/
A C
«`
Затем отметим на ребрах AA1 и CC1 точки K и L соответственно так, чтобы AK = KA1 и CL ≠ LC1. Пусть AK = KA1 = x, а CL = y.
«`
B1_______C1
/| /|
/ | / |
/__|____/ |
| | | |
| A1___|__D1
| / K | / L
| / | /
|/_______|/
A C
«`
Далее, чтобы построить точку пересечения прямой KL с плоскостью ABC, нужно найти уравнение этой плоскости. Для этого можно воспользоваться формулой плоскости, проходящей через три точки:
«`
Ax + By + Cz + D = 0
«`
где A, B и C — коэффициенты плоскости, а D — свободный член.
Три точки, через которые проходит плоскость ABC, это A, B и C. Найдем коэффициенты плоскости, подставив координаты этих точек в формулу:
«`
A * x + B * y + C * z + D = 0
A * 0 + B * 0 + C * 0 + D = 0 // точка A
A * 1 + B * 0 + C * 0 + D = 0 // точка B
A * 0 + B * 1 + C * 0 + D = 0 // точка C
«`
Решив эту систему уравнений, получим:
«`
A = 0
B = 0
C = 1
D = 0
«`
Таким образом, уравнение плоскости ABC имеет вид:
«`
z = 0
«`
Теперь найдем точку пересечения прямой KL с этой плоскостью. Для этого можно воспользоваться параметрическим уравнением прямой:
«`
x = x1 + t * (x2 — x1)
y = y1 + t * (y2 — y1)
z = z1 + t * (z2 — z1)
«`
где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) — координаты точек на прямой, а t — параметр.
В нашем случае (x1, y1, z1) = (A, K, 0) и (x2, y2, z2) = (C, L, 0). Подставим эти значения в параметрическое уравнение и найдем t:
«`
x = A + t * (C — A) = t * C + (1 — t) * A
y = K + t * (L — K) = t * L + (1 — t) * K
z = 0
«`
Так как точка пересечения лежит на плоскости ABC, то ее координата z равна 0. Подставим это значение в уравнение и найдем t:
«`
0 = t * 0 + (1 — t) * 0
t = 0 или t = 1
«`
Таким образом, точка пересечения прямой KL с плоскостью ABC может быть найдена при t = 0 или t = 1. При t = 0 получим точку (A, K, 0), а при t = 1 — точку (C, L, 0).
«`
B1_______C1
/| /|
/ | / |
/__|____/ |
| | | |
| A1___|__D1
| / K | / L
| / | /
|/___0___|/
A C
«`
Наконец, чтобы построить точку пересечения прямой AL с плоскостью A1B1C1, нужно найти уравнение этой плоскости и аналогично найти точку пересечения с помощью параметрического уравнения прямой. Оставим это как упражнение для читателя.
