Вопрос школьника
Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение: а) плоскостью АВС1; б) плоскостью АСС1. Докажите, что построенные сечения являются параллелограммами
Ответ от учителя
Параллелепипед ABCDA1B1C1D1 — это фигура, состоящая из шести прямоугольных граней, каждая из которых параллельна соответствующей ей грани. Для удобства обозначим стороны этого параллелепипеда следующим образом: AB = a, BC = b, CD = c.
а) Построим сечение плоскостью АВС1. Для этого проведем прямую, проходящую через точки А и С1, и пересекающую грани BC1D1 и B1D. Получим параллелограмм BC1C*A1.
Для доказательства того, что этот параллелограмм является параллелограммом, достаточно показать, что его противоположные стороны параллельны и равны по длине.
Сторона BC1 параллельна стороне A1C, так как они лежат в одной плоскости. Сторона C*A1 параллельна стороне BC1, так как они пересекаются под прямым углом и лежат в одной плоскости. Таким образом, противоположные стороны параллелограмма параллельны.
Для того чтобы показать, что стороны параллелограмма равны по длине, достаточно заметить, что треугольники ABC1 и A1C*B1 равны по гипотенузе и катету соответственно (они оба прямоугольные и имеют общий катет AC1). Следовательно, сторона BC1 равна стороне C*A1, и параллелограмм BC1C*A1 является параллелограммом.
б) Построим сечение плоскостью АСС1. Для этого проведем прямую, проходящую через точки А и С, и пересекающую грани B1C1D и BCAD1. Получим параллелограмм B1C1C*A.
Доказательство того, что этот параллелограмм является параллелограммом, аналогично предыдущему случаю. Сторона B1C1 параллельна стороне A*C*, так как они лежат в одной плоскости. Сторона C*A параллельна стороне B1C1, так как они пересекаются под прямым углом и лежат в одной плоскости. Таким образом, противоположные стороны параллелограмма параллельны.
Для того чтобы показать, что стороны параллелограмма равны по длине, заметим, что треугольники ABC* и A*C*B1 равны по гипотенузе и катету соответственно (они оба прямоугольные и имеют общий катет AC). Следовательно, сторона B1C1 равна стороне C*A, и параллелограмм B1C1C*A является параллелограммом.
Таким образом, мы доказали, что оба построенных сечения являются параллелограммами.
