Вопрос школьника
Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Постройте его сечение плоскостью, проходящей через середину ребра DD1 и параллельной плоскости AKC, где точка K — середина ребра BB1. Постройте отрезок, по которому построенное сечение пересекает диагональное сечение BDD1B1.
Ответ от учителя
Параллелепипед ABCDA1B1C1D1 можно изобразить следующим образом:
«`
B1_____________C1
/| /|
/ | / |
/ | / |
A1/___|_________/D1 |
| | | |
| | | |
| A________|___D
| / | /
| / | /
|/ |/
B____________C
«`
Для построения сечения плоскостью, проходящей через середину ребра DD1 и параллельной плоскости AKC, нужно найти точку пересечения этой плоскости с ребром BB1. Для этого можно использовать теорему о трёх параллельных плоскостях: если две плоскости параллельны третьей, то их пересечение параллельно этой третьей плоскости.
Таким образом, плоскость, проходящая через середину ребра DD1 и параллельная плоскости AKC, параллельна плоскости B1C1D1A1. Поэтому её можно изобразить следующим образом:
«`
B1_____________C1
/| /|
/ | / |
/ | / |
A1/___|_________/D1 |
| | | |
| | | |
| A________|___D
| / | /
| / | /
|/ |/
B____________C
E_________F
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
G_________H
«`
Здесь E и F — точки пересечения плоскости с ребрами AD и A1D1 соответственно, а G и H — точки пересечения плоскости с ребрами B1B и C1C соответственно.
Для построения отрезка, по которому построенное сечение пересекает диагональное сечение BDD1B1, нужно найти точки пересечения этих двух сечений. Диагональное сечение BDD1B1 можно изобразить следующим образом:
«`
B1_____________C1
/| /|
/ | / |
/ | / |
A1/___|_________/D1 |
| | | |
| | | |
| A________|___D
| / | /
| / | /
|/ |/
B____________C
E_________F
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
G_________H
/ /
/ /
/ /
/ /
/ /
/ /
/ /
/_________/
B D1
«`
Здесь точки E, F, G и H такие же, как и на предыдущем рисунке. Точки пересечения сечений можно найти, используя теорему о трёх плоскостях: если три плоскости пересекаются по одной прямой, то любые две из них пересекаются по одной прямой, параллельной третьей.
Таким образом, нужно найти точки пересечения плоскости B1C1D1A1 с плоскостью, проходящей через точки E и H. Эта плоскость параллельна плоскости BDD1B1, поэтому её можно изобразить следующим образом:
«`
B1_____________C1
/| /|
/ | / |
/ | / |
A1/___|_________/D1 |
| | | |
| | | |
| A________|___D
| / | /
| / | /
|/ |/
B____________C
E_________F
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
G_________H
/ /
/ /
/ /
/ /
/ /
/ /
/ /
/_________/
B D1
I_________J
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
K_________L
«`
Здесь I и J — точки пересечения плоскости с ребрами AB и A1B1 соответственно, а K и L — точки пересечения плоскости с ребрами CD и C1D1 соответственно.
Отрезок, по которому построенное сечение пересекает диагональное сечение BDD1B1, проходит через точки G и K. Его можно изобразить следующим образом:
«`
B1_____________C1
/| /|
/ | / |
/ | / |
A1/___|_________/D1 |
| | | |
| | | |
| A________|___D
| / | /
| / | /
|/ |/
B____________C
E_________F
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
G_________H
/ /
/ /
/ /
/ /
/ /
/ /
/ /
/_________/
B D1
I_________J
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
K_________L
M
|
|
|
|
|
|
N
«`
Здесь M и N — точки пересечения отрезка с диагональным сечением BDD1B1.
